Esercizio - lunghezza d'onda di de Broglie e principio di indeterminazione

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1. Elettrone accelerato

L'elettrone guadagna energia cinetica $K = eV$ ($V$ è la differenza di potenziale; si veda Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →). Con $K = \tfrac12 m v^2 = p^2/(2m)$ si ricava $p = \sqrt{2 m_e\,eV}$.

$$p = \sqrt{2\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 100} = \sqrt{2{,}919\cdot 10^{-47}} = 5{,}40\cdot 10^{-24}\ \text{kg m/s}$$

$$v = \frac{p}{m_e} = \frac{5{,}40\cdot 10^{-24}}{9{,}109\cdot 10^{-31}} = 5{,}93\cdot 10^{6}\ \text{m/s}\ (\approx 2\,\%\ \text{di}\ c;\ \text{le correzioni relativistiche sono trascurabili})$$

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{5{,}40\cdot 10^{-24}} = 1{,}227\cdot 10^{-10}\ \text{m} = \mathbf{0{,}123\ nm}$$

Poiché $\lambda\propto 1/\sqrt{V}$: con $1\ \text{V}$ la $\lambda$ diventa $10$ volte più grande, $1{,}23\ \text{nm}$; con $10\ \text{kV}$ è $10$ volte più piccola, $0{,}0123\ \text{nm} = 12{,}3\ \text{pm}$ (a questa energia le correzioni relativistiche sono ancora dell'ordine dell'1%). Con $\lambda\approx 0{,}1\ \text{nm}$, comparabile con la distanza interatomica, gli elettroni sono diffratti dai cristalli, fatto che ha confermato l'ipotesi di de Broglie.

2. Neutrone termico

$K = 0{,}0259\ \text{eV} = 0{,}0259\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19} = 4{,}149\cdot 10^{-21}\ \text{J}$ (è circa $k_B T$ a $300\ \text{K}$).

$$p = \sqrt{2 m_n K} = \sqrt{2\cdot 1{,}675\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}149\cdot 10^{-21}} = 3{,}73\cdot 10^{-24}\ \text{kg m/s}\qquad\lambda = \frac{h}{p} = \mathbf{0{,}178\ nm}$$

Del tutto confrontabile con $0{,}25\ \text{nm}$: per questo i neutroni termici si usano per studiare la struttura dei cristalli.

3. La palla

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{0{,}145\cdot 40} = \mathbf{1{,}14\cdot 10^{-34}\ m}$$

Circa $10^{19}$ volte più piccola di un nucleo ($10^{-15}\ \text{m}$): nessun effetto ondulatorio osservabile.

4. Indeterminazione

Dalla relazione $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$, con $\Delta p = m\,\Delta v$:

$$\Delta v \ge \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}$$

• Elettrone: $\Delta v \ge \dfrac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{2\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-10}} = \mathbf{5{,}8\cdot 10^{5}\ m/s}$. È una frazione importante della velocità tipica dell'elettrone nell'atomo di idrogeno ($2{,}2\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$): localizzarlo nell'atomo rende la velocità sostanzialmente indeterminata.
• Granello ($m = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{kg}$, $\Delta x = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{m}$): $\Delta v \ge \dfrac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{2\cdot 10^{-6}\cdot 10^{-6}} = \mathbf{5{,}3\cdot 10^{-23}\ m/s}$, assolutamente trascurabile.

5. Domanda teorica

Un'orbita richiede di conoscere in ogni istante posizione e velocità dell'elettrone. L'indeterminazione dice che, se la posizione è fissata a una frazione delle dimensioni dell'atomo, la velocità è incerta di una quantità paragonabile alla velocità stessa: la traiettoria non esiste. Si può solo dare la probabilità $|\psi|^2$ di trovare l'elettrone in una zona: l'orbitale.

Risultati

Errori comuni

• Usare $K = eV$ in elettronvolt dentro la formula in SI senza convertire in joule.
• Dimenticare la radice in $p = \sqrt{2mK}$.
• Pensare che l'indeterminazione dipenda dalla qualità dello strumento: è una proprietà della natura, non un errore di misura.
• Usare $\hbar$ al posto di $h$ nella relazione di de Broglie (e viceversa).