Esercizio - massa atomica media del cloro e del magnesio

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Teoria: Atomi, isotopi, massa atomica e mole.

Testo. Il cloro naturale contiene due isotopi: $^{35}$ Cl di massa $34{,}9689\ \text{u}$ (abbondanza $75{,}76\,\%$ ) e $^{37}$ Cl di massa $36{,}9659\ \text{u}$ (abbondanza $24{,}24\,\%$ ). Il magnesio ne ha tre: $^{24}$ Mg ( $23{,}9850\ \text{u}$ , $78{,}99\,\%$ ), $^{25}$ Mg ( $24{,}9858\ \text{u}$ , $10{,}00\,\%$ ), $^{26}$ Mg ( $25{,}9826\ \text{u}$ , $11{,}01\,\%$ ).

Calcolare la massa atomica media di Cl e di Mg.
In uno spettrometro di massa si analizza il gas $\text{Cl}_2$ : quali masse si osservano per la molecola e con quali abbondanze relative?
Domanda teorica: perché la massa atomica di un elemento sulla tavola periodica non è un numero intero, pur essendo la massa di ogni isotopo vicina a un intero?

1. Massa media

La massa media è la media pesata delle masse isotopiche, con pesi le abbondanze espresse come frazioni (si divide la percentuale per 100, così la somma dei pesi fa 1).

Cloro.

$\bar m_{\text{Cl}} = 0{,}7576\cdot 34{,}9689 + 0{,}2424\cdot 36{,}9659$

Si calcolano i due prodotti: $0{,}7576\cdot 34{,}9689 = 26{,}4924$ e $0{,}2424\cdot 36{,}9659 = 8{,}9605$ . La somma è

$\bar m_{\text{Cl}} = 26{,}4924 + 8{,}9605 = \mathbf{35{,}453\ u}$

Controllo di ragionevolezza: il risultato deve stare tra le due masse ( $34{,}97$ e $36{,}97$ ) e più vicino a quella più abbondante: $35{,}45$ è più vicino a $34{,}97$ ✓.

Magnesio. Con tre isotopi si sommano tre termini:

$\bar m_{\text{Mg}} = 0{,}7899\cdot 23{,}9850 + 0{,}1000\cdot 24{,}9858 + 0{,}1101\cdot 25{,}9826$

$= 18{,}9458 + 2{,}4986 + 2{,}8607 = \mathbf{24{,}305\ u}$

Le abbondanze sommano a $0{,}7899 + 0{,}1000 + 0{,}1101 = 1{,}0000$ ✓ (controllo da fare sempre).

2. Spettro di massa di $\text{Cl}_2$

Ogni molecola contiene due atomi, ciascuno $^{35}$ Cl o $^{37}$ Cl indipendentemente dall'altro. Le combinazioni possibili sono tre:

molecola	massa (u)	probabilità
$^{35}$ Cl– $^{35}$ Cl	$2\cdot 34{,}9689 = 69{,}94$	$0{,}7576^2 = 0{,}5740$
$^{35}$ Cl– $^{37}$ Cl	$34{,}9689 + 36{,}9659 = 71{,}93$	$2\cdot 0{,}7576\cdot 0{,}2424 = 0{,}3673$
$^{37}$ Cl– $^{37}$ Cl	$2\cdot 36{,}9659 = 73{,}93$	$0{,}2424^2 = 0{,}0588$

Il fattore $2$ nella combinazione mista conta i due modi di ottenerla (35–37 e 37–35). Le probabilità sommano a $0{,}5740 + 0{,}3673 + 0{,}0588 = 1{,}0001 \approx 1$ ✓ (errore di arrotondamento).

Si osservano quindi tre picchi a $70$ , $72$ e $74$ u, con altezze nel rapporto circa $9:6:1$ ( $0{,}574 : 0{,}367 : 0{,}059$ ).

3. Domanda teorica

La massa di un isotopo è vicina all'intero $A$ perché ogni nucleone pesa circa $1\ \text{u}$ (le piccole differenze sono dovute al difetto di massa e alla massa degli elettroni). La massa sulla tavola però è una media pesata sulle abbondanze naturali di isotopi diversi: nessun atomo ha davvero quella massa. Fanno eccezione gli elementi con un solo isotopo naturale (F, Na, Al, P…), la cui massa si discosta da un intero solo per il difetto di massa.

Risultati

grandezza	valore
massa media del Cl	$35{,}453\ \text{u}$
massa media del Mg	$24{,}305\ \text{u}$
picchi di $\text{Cl}_2$	$70$ , $72$ , $74$ u in rapporto circa $9:6:1$

Errori comuni

Usare le percentuali come numeri interi ( $75{,}76\cdot 34{,}9689$ ): la media verrebbe $100$ volte più grande.
Fare la media semplice $(34{,}97 + 36{,}97)/2 = 35{,}97$ senza pesare: ignora che un isotopo è tre volte più abbondante dell'altro.
Dimenticare il fattore $2$ della molecola mista nello spettro di $\text{Cl}_2$ .

Versione ripasso

Testo. $^{35}$ Cl ( $34{,}9689\ \text{u}$ , $75{,}76\,\%$ ) e $^{37}$ Cl ( $36{,}9659\ \text{u}$ , $24{,}24\,\%$ ); $^{24}$ Mg ( $23{,}9850$ , $78{,}99\,\%$ ), $^{25}$ Mg ( $24{,}9858$ , $10{,}00\,\%$ ), $^{26}$ Mg ( $25{,}9826$ , $11{,}01\,\%$ ). Trovare le masse medie, i picchi di $\text{Cl}_2$ e spiegare perché la massa atomica non è intera.

Soluzione

Media pesata con frazioni: $\bar m_{\text{Cl}} = 0{,}7576\cdot 34{,}9689 + 0{,}2424\cdot 36{,}9659 = 35{,}453\ \text{u}$ ; $\bar m_{\text{Mg}} = 18{,}9458 + 2{,}4986 + 2{,}8607 = 24{,}305\ \text{u}$ . Il risultato sta tra la massa minima e quella massima, vicino all'isotopo più abbondante.
$\text{Cl}_2$ : $^{35}$ – $^{35}$ a $70$ u ( $0{,}574$ ), $^{35}$ – $^{37}$ a $72$ u ( $2\cdot 0{,}7576\cdot 0{,}2424 = 0{,}367$ ), $^{37}$ – $^{37}$ a $74$ u ( $0{,}059$ ): rapporto circa $9:6:1$ .
La massa sulla tavola è una media pesata di isotopi di massa quasi intera: nessun atomo ha quella massa.

Errori comuni: percentuali come interi; media semplice senza pesi; dimenticare il $2$ della molecola mista.

Teoria collegata

Atomi, isotopi, massa atomica e mole