Esercizio - soluzioni solide, ottone e regole di Hume-Rothery

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Teoria: Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano.

Testo. Raggi atomici (nm) e strutture: Cu $0{,}128$ (FCC, valenza $+1$ ), Ni $0{,}125$ (FCC, $+2$ ), Zn $0{,}133$ (HCP, $+2$ ), Al $0{,}143$ (FCC, $+3$ ), Pb $0{,}175$ (FCC, $+2$ ). Masse molari: Cu $63{,}546$ , Zn $65{,}38$ , Fe $55{,}845$ , C $12{,}011$ g/mol.

Un ottone contiene $70\%$ in massa di Cu e $30\%$ di Zn. Calcolare la composizione in percentuale atomica. Quanti kg di zinco ci sono in $5{,}0$ kg di ottone e quante moli?
Applicare le prime due regole di Hume-Rothery alla solubilità di Ni, Zn, Al e Pb nel rame e dire per quali ci si aspetta una buona solubilità.
Un acciaio contiene $0{,}80\%$ in massa di carbonio. Calcolare la percentuale atomica e il numero di atomi di Fe per atomo di C. Il carbonio è sostituzionale o interstiziale e perché?
Domanda teorica: come cambiano resistenza e duttilità del rame se si aggiunge zinco? Perché?

1. Ottone

Si prendono $100$ g di lega: $70$ g di Cu e $30$ g di Zn. $n_{Cu} = \frac{70}{63{,}546} = 1{,}1016\ \text{mol}, \qquad n_{Zn} = \frac{30}{65{,}38} = 0{,}4588\ \text{mol}$ Totale $1{,}5604$ mol. Frazioni atomiche: $x_{Zn} = \frac{0{,}4588}{1{,}5604} = 0{,}294 \;(\mathbf{29{,}4\ at\%}), \qquad x_{Cu} = \mathbf{70{,}6\ at\%}$ La percentuale atomica dello zinco è un po' più bassa di quella in massa ( $29{,}4$ contro $30$ ) perché lo zinco ha massa molare maggiore del rame: a parità di grammi, i suoi atomi sono meno numerosi.

In $5{,}0$ kg di ottone: $m_{Zn} = 0{,}30\cdot5{,}0 = \mathbf{1{,}5\ kg}$ , cioè $\frac{1500}{65{,}38} = \mathbf{22{,}9\ mol}$ .

2. Regole di Hume-Rothery per il rame

Differenza percentuale del raggio rispetto al rame: $\dfrac{r - 0{,}128}{0{,}128}\cdot100$ .

soluto	$\Delta r$	struttura	valenza	giudizio
Ni	$-2{,}3\%$	FCC (uguale)	$+2$	solubilità totale: tutte le regole sono rispettate
Zn	$+3{,}9\%$	HCP (diversa)	$+2$	solubilità limitata (circa $35\%$ in massa): $\Delta r$ piccola ma strutture diverse
Al	$+11{,}7\%$	FCC	$+3$	buona solubilità (circa $9\%$ in massa, $19$ at%): $\Delta r<15\%$ , struttura uguale, valenza maggiore
Pb	$+36{,}7\%$	FCC	$+2$	praticamente insolubile: $\Delta r$ molto maggiore di $15\%$

Si ricava anche che una coppia di metalli con raggi e struttura simili (Cu-Ni) forma leghe in tutte le composizioni.

3. Carbonio nell'acciaio

In $100$ g di acciaio: $0{,}80$ g di C e $99{,}20$ g di Fe. $n_C = \frac{0{,}80}{12{,}011} = 0{,}06661\ \text{mol}, \qquad n_{Fe} = \frac{99{,}20}{55{,}845} = 1{,}7764\ \text{mol}$ $x_C = \frac{0{,}06661}{0{,}06661 + 1{,}7764} = \mathbf{3{,}61\ at\%}, \qquad \frac{n_{Fe}}{n_C} = \frac{1{,}7764}{0{,}06661} = \mathbf{26{,}7}$ Quindi un atomo di C ogni $26{,}7$ atomi di Fe. Il raggio del C ( $0{,}077$ nm) è circa il $61\%$ di quello del Fe ( $0{,}1257$ nm): la differenza è molto maggiore del $15\%$ e il C è un atomo piccolo, quindi la soluzione è interstiziale (il C occupa i siti ottaedrici dell'austenite o i siti tetraedrici della ferrite; Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte).

4. Effetto dello zinco

L'aggiunta di zinco aumenta la resistenza e la durezza (il rame puro ha snervamento basso, l'ottone ben di più): l'atomo di Zn ha dimensione e legame diversi da quelli del Cu e crea nel reticolo un campo di deformazione elastica che ostacola il moto delle dislocazioni (rafforzamento per soluzione solida). L'ottone $\alpha$ resta molto duttile (l'allungamento a rottura cresce fino a circa il $30\%$ di Zn: per questo l'ottone $70$ / $30$ si imbutisce, per esempio per i bossoli), mentre la conducibilità elettrica e termica diminuisce perché gli atomi estranei diffondono gli elettroni.

Risultati

grandezza	valore
ottone $70$ / $30$ in at%	Cu $70{,}6\%$ , Zn $29{,}4\%$
zinco in $5{,}0$ kg di ottone	$1{,}5$ kg $=22{,}9$ mol
solubilità nel Cu	Ni totale; Al buona; Zn limitata; Pb nulla
acciaio con $0{,}80\%$ C in massa	$3{,}61$ at%, $26{,}7$ atomi di Fe per C

Errori comuni

Scambiare percentuale in massa e atomica: per convertire si divide per le masse molari.
Giudicare solo dai raggi e dimenticare struttura e valenza.
Trattare il carbonio come sostituzionale: è troppo piccolo.

Versione ripasso

Testo. Ottone $70$ Cu- $30$ Zn in massa: at%, kg e moli di Zn in $5{,}0$ kg. Solubilità nel Cu di Ni, Zn, Al, Pb dai raggi ( $0{,}128$ , $0{,}125$ , $0{,}133$ , $0{,}143$ , $0{,}175$ nm), strutture e valenze. Acciaio con $0{,}80\%$ di C in massa: at%, rapporto Fe/C, sito. Effetto dello Zn su resistenza e duttilità.

Soluzione (Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano)

$n_{Cu} = 70/63{,}546 = 1{,}1016$ mol, $n_{Zn} = 30/65{,}38 = 0{,}4588$ mol: $x_{Zn} = 29{,}4$ at%. In $5{,}0$ kg: $1{,}5$ kg di Zn $= 22{,}9$ mol.
Hume-Rothery (raggi entro il $15\%$ , stessa struttura, valenza): Ni $-2{,}3\%$ FCC totale; Zn $+3{,}9\%$ ma HCP, circa $35\%$ in massa; Al $+11{,}7\%$ FCC, valenza maggiore, buona; Pb $+36{,}7\%$ insolubile.
Acciaio: $n_C = 0{,}80/12{,}011 = 0{,}06661$ mol, $n_{Fe} = 99{,}20/55{,}845 = 1{,}7764$ mol, $x_C = 3{,}61$ at%, Fe/C $= 26{,}7$ . Il C ( $0{,}077$ nm, circa $61\%$ del raggio del Fe) è interstiziale (Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte).
Lo Zn distorce il reticolo e ostacola le dislocazioni: più resistenza e durezza, meno conducibilità.

Errori tipici: % in massa scambiata con at%; solo i raggi senza struttura e valenza; C trattato come sostituzionale.