Esercizio - indici di Miller e densità planare del rame

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1. Indici di Miller

(a) Intercette $\tfrac12, \tfrac13, \infty$. Reciproci: $2, 3, 0$. Sono già interi: piano $\mathbf{(230)}$.

(b) Intercette $1, -1, \infty$. Reciproci: $1, -1, 0$. Il segno meno si scrive con una barra sopra: piano $\mathbf{(1\bar10)}$.

(c) Intercette $\tfrac14, \tfrac12, 1$. Reciproci: $4, 2, 1$: piano $\mathbf{(421)}$.

Direzione. Si sottraggono le coordinate della punta e dell'origine: $(1,1,1) - (0,\tfrac12,0) = (1, \tfrac12, 1)$. Si moltiplica per $2$ per avere interi: $(2,1,2)$, quindi $\mathbf{[212]}$.

2. Densità planari della FCC

La FCC ha atomi nei vertici e nei centri delle facce.

• Piano $(100)$ (una faccia del cubo, quadrato $a\times a$): $4$ vertici ciascuno condiviso da $4$ quadrati e $1$ atomo al centro: $4\cdot\frac14 + 1 = 2$ atomi. Area $a^2$.
• Piano $(110)$ (rettangolo $a\times a\sqrt2$): $4$ vertici da $\frac14$ e $2$ atomi a metà dei lati lunghi da $\frac12$: $1 + 1 = 2$ atomi. Area $a^2\sqrt2$.
• Piano $(111)$ (triangolo equilatero di lato $a\sqrt2$, con area $\frac{\sqrt3}{4}(a\sqrt2)^2 = \frac{\sqrt3}{2}a^2$): $3$ vertici da $\frac16$ (angolo di $60^\circ$, un sesto di cerchio) e $3$ atomi a metà dei lati da $\frac12$: $\frac12 + \frac32 = 2$ atomi.

Densità planari, con $a^2 = 0{,}13068$ nm$^2$: $$\rho_{(100)} = \frac{2}{a^2} = \frac{2}{0{,}13068} = \mathbf{15{,}30\ nm^{-2}}$$ $$\rho_{(110)} = \frac{2}{a^2\sqrt2} = \frac{1{,}4142}{0{,}13068} = \mathbf{10{,}82\ nm^{-2}}$$ $$\rho_{(111)} = \frac{2}{\frac{\sqrt3}{2}a^2} = \frac{4}{\sqrt3\,a^2} = \frac{2{,}3094}{0{,}13068} = \mathbf{17{,}67\ nm^{-2}}$$

Il piano $(111)$ è il più denso.

3. Densità lineari

• $[100]$ (spigolo): sullo spigolo ci sono gli atomi dei vertici, uno ogni $a$: $\frac1a = \frac1{0{,}3615} = \mathbf{2{,}77\ nm^{-1}}$.
• $[110]$ (diagonale di faccia, lunga $a\sqrt2$): vertice, centro della faccia, vertice: $\frac12 + 1 + \frac12 = 2$ atomi su $a\sqrt2$, cioè $\frac{2}{a\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{a} = \mathbf{3{,}91\ nm^{-1}}$.
• $[111]$ (diagonale del cubo, $a\sqrt3$): solo i due vertici (metà ciascuno, $1$ atomo): $\frac{1}{a\sqrt3} = \mathbf{1{,}60\ nm^{-1}}$.

La direzione compatta è $[110]$: gli atomi sono a contatto ($2R = a/\sqrt2 = 0{,}2556$ nm e $1/0{,}2556 = 3{,}91$ ✓).

4. Ferro BCC

Nella BCC gli atomi sono ai vertici e al centro della cella.

• $(100)$: quadrato $a\times a$ con $4$ vertici da $\frac14$ (il centro è nel piano a metà altezza e non ci sta): $1$ atomo. $\rho = \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{0{,}08214} = \mathbf{12{,}17\ nm^{-2}}$.
• $(110)$: rettangolo $a\times a\sqrt2$ con $4$ vertici da $\frac14$ e $1$ atomo al centro (il centro della cella cade nel piano diagonale): $2$ atomi. $\rho = \dfrac{2}{a^2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{a^2} = \mathbf{17{,}22\ nm^{-2}}$.

Il piano più denso del ferro BCC è $(110)$ con $17{,}2$ nm$^{-2}$, quasi uguale al $(111)$ del rame $(17{,}7)$. Ma nella BCC non è un piano compatto vero (APF minore, il piano non è esagonale) e la direzione compatta $\langle111\rangle$ è comune a molti piani: lo scorrimento nei metalli BCC avviene su piani diversi, ed è più sensibile alla temperatura.

5. Domanda teorica

La deformazione plastica avviene per scorrimento di piani atomici, che richiede la tensione minore quando: (i) i piani sono i più densi, perché sono anche i più distanziati tra loro (la distanza interplanare è $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$, massima per $(111)$) e quindi il legame tra piani vicini è più debole; (ii) la direzione è quella in cui gli atomi sono più vicini, perché lo spostamento elementare (vettore di Burgers) è il più corto, $a\sqrt2/2 = 2R$. Nella FCC i piani più densi sono i $\{111\}$ e la direzione più densa è $\langle110\rangle$. Esistono $4$ piani $\{111\}$ non paralleli, ciascuno con $3$ direzioni $\langle110\rangle$: $4\cdot3 = \mathbf{12}$ sistemi di scorrimento. Per questo i metalli FCC (Cu, Al, Ni, Au) sono molto duttili (Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di granoI cristalli reali contengono difetti. Difetti puntuali: vacanze (concentrazione n_v/N = exp(−Q_v/kT), cresce molto con T), atomi interstiziali e sostituzionali (soluzioni solide). Difetti di linea: dislocazioni a spigolo e a vite, caratterizzate dal vettore di Burgers b; il loro moto spiega perché i metalli si deformano a tensioni migliaia di volte inferiori al valore teorico (G/2π), con lo scorrimento sui piani e nelle direzioni compatte (FCC: 12 sistemi), τ = σ cosφ cosλ. Difetti di superficie: bordi di grano; la resistenza cresce al diminuire del grano (Hall-Petch σ_y = σ_0 + k_y d^(−1/2)). Difetti di volume: pori, cricche, inclusioni.Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano →).

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Risultati

Errori comuni

• Prendere le intercette come indici invece dei reciproci.
• Contare gli atomi dei vertici interi nei piani: in un piano un vertice è condiviso da $4$ quadrati.
• Dimenticare l'atomo centrale della BCC nel piano $(110)$, ma non nel $(100)$.