Esercizio - abbondanze isotopiche del rame dalla massa atomica

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Impostazione

Con due isotopi basta un'incognita. Se $x$ è la frazione di $^{63}$Cu, quella di $^{65}$Cu è $1 - x$ (le frazioni sommano a $1$). La media pesata dà un'equazione di primo grado:

$$x\,m_{63} + (1 - x)\,m_{65} = \bar m$$

1. Abbondanze del rame

Si porta $m_{65}$ a destra e si raccoglie $x$:

$$x\,(m_{63} - m_{65}) = \bar m - m_{65} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{m_{65} - \bar m}{m_{65} - m_{63}}$$

Sostituendo i numeri:

$$x = \frac{64{,}9278 - 63{,}546}{64{,}9278 - 62{,}9296} = \frac{1{,}3818}{1{,}9982} = 0{,}6915$$

Quindi $^{63}$Cu: $\mathbf{69{,}15\,\%}$ e $^{65}$Cu: $1 - 0{,}6915 = \mathbf{30{,}85\,\%}$.

Controllo: $0{,}6915\cdot 62{,}9296 + 0{,}3085\cdot 64{,}9278 = 43{,}5158 + 20{,}0302 = 63{,}546$ ✓. Inoltre la media è più vicina a $m_{63}$ ($63{,}546 - 62{,}930 = 0{,}617$ contro $1{,}382$) e infatti $^{63}$Cu è più abbondante.

2. Massa di $^{65}$Cu in $1{,}00\ \text{kg}$

Attenzione: le abbondanze sono frazioni di atomi, non di massa. Gli atomi di $^{65}$Cu sono più pesanti della media, quindi la loro frazione in massa è un po' più grande di $0{,}3085$:

$$w_{65} = \frac{0{,}3085\cdot 64{,}9278}{63{,}546} = \frac{20{,}0302}{63{,}546} = 0{,}3152$$

Perciò in $1{,}00\ \text{kg}$ ci sono $\mathbf{315\ g}$ di $^{65}$Cu (non $308{,}5\ \text{g}$).

3. Boro

$$x_{10} = \frac{11{,}0093 - 10{,}81}{11{,}0093 - 10{,}0129} = \frac{0{,}1993}{0{,}9964} = 0{,}2000$$

$^{10}$B: $\mathbf{20{,}0\,\%}$, $^{11}$B: $\mathbf{80{,}0\,\%}$. Controllo: $0{,}2000\cdot 10{,}0129 + 0{,}8000\cdot 11{,}0093 = 2{,}0026 + 8{,}8074 = 10{,}810$ ✓. L'isotopo $^{10}$B assorbe bene i neutroni ed è usato nelle barre di controllo dei reattori.

4. Domanda teorica

Una media pesata si sposta verso l'isotopo più abbondante. Se $^{63}$Cu fosse l'$80\,\%$ la massa media scenderebbe:

$$\bar m = 0{,}80\cdot 62{,}9296 + 0{,}20\cdot 64{,}9278 = 50{,}3437 + 12{,}9856 = 63{,}329\ \text{u}$$

cioè $63{,}33 < 63{,}55$ ✓.

Risultati

Errori comuni

• Scambiare numeratore e denominatore o i due isotopi: nel numeratore va l'isotopo che non è quello di cui si cerca la frazione. Il controllo con la media pesata lo rivela subito.
• Confondere abbondanza atomica e frazione in massa: sono uguali solo se i due isotopi hanno la stessa massa.
• Dare l'abbondanza come $0{,}69$ e poi usarla come percentuale (o viceversa).