Esercizio - dimensione del grano ASTM e legge di Hall-Petch

---

1. Dalla scala ASTM al diametro

$$N = 2^{G-1} = 2^{6} = \mathbf{64}\ \text{grani/in}^2\ (\text{a }100\times)$$

A $100$ ingrandimenti, un lato di $1$ pollice dell'immagine corrisponde a $\frac1{100}$ di pollice reale; l'area reale di $1$ in$^2$ di immagine è quindi $\left(\frac1{100}\right)^2 = 10^{-4}$ in$^2$ $= 10^{-4}\cdot645{,}16 = 0{,}064516$ mm$^2$. Area media di un grano: $$A_g = \frac{0{,}064516}{64} = 1{,}008\cdot10^{-3}\ \text{mm}^2$$ Diametro equivalente: $$d = \sqrt{A_g} = \sqrt{1{,}008\cdot10^{-3}} = 0{,}03175\ \text{mm} = \mathbf{31{,}7\ \mu m}$$

2. Snervamento

Si converte $d$ in metri: $d = 31{,}75\cdot10^{-6}$ m, $\sqrt d = 5{,}635\cdot10^{-3}$ m$^{1/2}$. $$\sigma_y = 100 + \frac{0{,}60}{5{,}635\cdot10^{-3}} = 100 + 106{,}5 = \mathbf{206{,}5\ MPa}$$ (unità: MPa$\sqrt{\text{m}}$ diviso $\sqrt{\text{m}}$ dà MPa ✓).

3. Grano necessario per $250$ MPa

Si risolve per $d$: $\sigma_y - \sigma_0 = k_y d^{-1/2}$, quindi $$d^{1/2} = \frac{k_y}{\sigma_y - \sigma_0} = \frac{0{,}60}{150} = 4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m}^{1/2}, \qquad d = 1{,}6\cdot10^{-5}\ \text{m} = \mathbf{16\ \mu m}$$ Numero ASTM: area del grano $d^2 = (0{,}016\ \text{mm})^2 = 2{,}56\cdot10^{-4}$ mm$^2$, quindi $N = \frac{0{,}064516}{2{,}56\cdot10^{-4}} = 252$ grani/in$^2$ e $G = 1 + \log_2252 = 1 + 7{,}98 = \mathbf{8{,}98\approx9}$.

4. Da $G = 7$ a $G = 9$

Per $G = 9$: $N = 2^8 = 256$ e $d = \sqrt{0{,}064516/256} = 0{,}01587$ mm $= 15{,}9$ $\mu$m. Snervamento: $100 + \frac{0{,}60}{\sqrt{15{,}87\cdot10^{-6}}} = 100 + 150{,}6 = 250{,}6$ MPa. Aumento: $250{,}6 - 206{,}5 = \mathbf{44{,}1\ MPa}$ ($+21\%$).

Area di bordo. A parità di forma l'area di bordo per unità di volume è proporzionale a $1/d$: da $31{,}75$ a $15{,}87$ $\mu$m il diametro si dimezza (due unità ASTM raddoppiano $N$ due volte: $64\to256$, quattro volte più grani per area, due volte più piccoli in diametro) e l'area di bordo per unità di volume raddoppia.

5. Domanda teorica

Una dislocazione che si muove su un piano di scorrimento in un grano, arrivata al bordo, non può continuare: nel grano vicino i piani e le direzioni di scorrimento hanno un'altra orientazione e la zona del bordo è disordinata. La dislocazione si accumula al bordo (pile-up) e per far scorrere il grano vicino serve una tensione maggiore. Più grano fine significa più bordi, più ostacoli, più resistenza: $\sigma_y\propto d^{-1/2}$.

Non sempre un grano fine conviene: ad alta temperatura il bordo di grano diventa una via di scorrimento viscoso, quindi nel creep sono preferibili grani grossi (o un monocristallo, come nelle palette di turbina); inoltre i grani molto fini (meno di circa $10$ nm) mostrano un comportamento inverso. Per l'uso a temperatura ambiente, dove il grano fine alza lo snervamento e anche la tenacità, il limite pratico viene dal costo del trattamento.

---

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare che $N$ è definito a $100\times$ (area reale $10^{-4}$ in$^2$ per pollice quadrato di immagine).
• Usare $d$ in micrometri con $k_y$ in MPa$\sqrt{\text{m}}$ senza convertire in metri.
• Pensare che $G$ alto significhi grano grossolano: più $G$ è alto, più il grano è fine.