Esercizio - numeri quantici ammessi e orbitali di un livello

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Teoria: Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioni.

Testo.

Dire quali delle seguenti quaterne $(n, l, m_l, m_s)$ sono ammesse e, per quelle che non lo sono, quale regola violano: a) $(3, 2, -2, +\tfrac12)$ ; b) $(2, 2, 0, +\tfrac12)$ ; c) $(4, 1, -2, -\tfrac12)$ ; d) $(3, 0, 1, +\tfrac12)$ ; e) $(2, 1, 0, 0)$ ; f) $(5, 3, +3, -\tfrac12)$ .
Per il livello $n=4$ : elencare i sottolivelli, il numero di orbitali di ciascuno e il totale; quanti elettroni al massimo?
Quanti elettroni in un atomo possono avere $n=3$ e $m_l=0$ ? Quanti hanno $n=3$ , $l=2$ e $m_s=+\tfrac12$ ?
Domanda teorica: dare il nome (come $3p$ ) dei sottolivelli con $(n,l) = (2,0), (3,1), (4,2), (4,3), (5,0)$ , e dire per ciascuno quanti nodi radiali e angolari ha.

1. Controllo delle quaterne

Le regole sono: $n = 1,2,3,\dots$ ; $l = 0,1,\dots,n-1$ ; $m_l = -l,\dots,+l$ ; $m_s = \pm\tfrac12$ .

quaterna	verifica	esito
a) $(3,2,-2,+\tfrac12)$	$l=2<3$ ✓; $\lvert m_l\rvert=2\le2$ ✓; spin ✓	ammessa (un elettrone 3d)
b) $(2,2,0,+\tfrac12)$	$l=2$ non è minore di $n=2$	non ammessa: $l\le n-1$
c) $(4,1,-2,-\tfrac12)$	$\lvert m_l\rvert=2>l=1$	non ammessa: $\lvert m_l\rvert\le l$
d) $(3,0,1,+\tfrac12)$	con $l=0$ solo $m_l=0$	non ammessa: $\lvert m_l\rvert\le l$
e) $(2,1,0,0)$	$m_s=0$	non ammessa: $m_s=\pm\tfrac12$
f) $(5,3,+3,-\tfrac12)$	$l=3<5$ ✓; $\lvert m_l\rvert=3\le3$ ✓	ammessa (un elettrone 5f)

2. Il livello $n=4$

I sottolivelli sono $l = 0,1,2,3$ , cioè 4s, 4p, 4d, 4f, con $2l+1$ orbitali ciascuno:

sottolivello	$l$	orbitali $2l+1$	elettroni $2(2l+1)$
4s	0	1	2
4p	1	3	6
4d	2	5	10
4f	3	7	14
totale		$1+3+5+7 = 16 = n^2$	$32 = 2n^2$

3. Conteggi

$n=3$ e $m_l=0$ . Per $n=3$ i valori di $l$ sono $0, 1, 2$ . In ciascuno esiste un orbitale con $m_l=0$ (3s, $3p_0$ , $3d_0$ ): sono 3 orbitali, ognuno con 2 elettroni (spin $\pm\tfrac12$ ). Quindi al massimo $3\cdot 2 = \mathbf{6}$ elettroni.

$n=3$ , $l=2$ , $m_s=+\tfrac12$ . Il sottolivello 3d ha $5$ orbitali ( $m_l = -2,\dots,+2$ ) e in ognuno al massimo un elettrone con spin $+\tfrac12$ : al massimo $\mathbf{5}$ elettroni.

4. Nomi e nodi

I nodi totali sono $n-1$ : $l$ angolari e $n-l-1$ radiali.

$(n,l)$	nome	nodi angolari ( $l$ )	nodi radiali ( $n-l-1$ )
$(2,0)$	2s	0	1
$(3,1)$	3p	1	1
$(4,2)$	4d	2	1
$(4,3)$	4f	3	0
$(5,0)$	5s	0	4

Controllo: nodi totali $= n - 1$ ( $2s$ : $0+1 = 1 = 2-1$ ✓; $5s$ : $0+4 = 4 = 5-1$ ✓).

Risultati

Ammesse: a) e f). Il livello $n=4$ ha 4 sottolivelli, 16 orbitali e 32 elettroni. Con $n=3$ , $m_l=0$ : 6 elettroni; con $3d$ e $m_s=+\tfrac12$ : 5 elettroni.

Errori comuni

Confondere $l$ con $m_l$ : $l$ dà la forma e sceglie i valori di $m_l$ , che dà l'orientazione.
Scrivere un $m_l$ fuori intervallo o $l$ uguale a $n$ .
Dimenticare lo spin quando si contano gli elettroni: ogni orbitale ne tiene due.

Versione ripasso

Testo. Verificare sei quaterne $(n,l,m_l,m_s)$ , descrivere il livello $n=4$ , contare gli elettroni con $n=3$ , $m_l=0$ e con $3d$ , $m_s=+\tfrac12$ , e dare nomi e nodi di cinque sottolivelli.

Soluzione

Regole: $l\le n-1$ , $\lvert m_l\rvert\le l$ , $m_s=\pm\tfrac12$ . Ammesse $(3,2,-2,+\tfrac12)$ e $(5,3,3,-\tfrac12)$ ; no $(2,2,0,\cdot)$ ( $l\ge n$ ), $(4,1,-2,\cdot)$ e $(3,0,1,\cdot)$ ( $\lvert m_l\rvert>l$ ), $(2,1,0,0)$ ( $m_s=0$ ).
$n=4$ : 4s, 4p, 4d, 4f con $1+3+5+7 = 16$ orbitali e $32$ elettroni.
$n=3$ , $m_l=0$ : 3 orbitali, 6 elettroni. $3d$ con $m_s=+\tfrac12$ : 5 elettroni.
Nodi: $l$ angolari e $n-l-1$ radiali: 2s (0,1), 3p (1,1), 4d (2,1), 4f (3,0), 5s (0,4).

Errori comuni: $l=n$ ; $m_l$ fuori intervallo; contare un solo elettrone per orbitale.

Teoria collegata

Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioni