Esercizio - prova di trazione di una barra di acciaio

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Teoria: Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico.

Testo. Un provino cilindrico di acciaio ha diametro $d_0 = 10{,}00$ mm e lunghezza utile $L_0 = 50{,}0$ mm. Modulo di Young $E = 210$ GPa, rapporto di Poisson $\nu = 0{,}30$ . Dalla prova si ricavano: forza di snervamento $F_y = 28{,}3$ kN, forza massima $F_{max} = 40{,}0$ kN. A rottura la lunghezza utile è $63{,}5$ mm e il diametro minimo della strizione è $6{,}2$ mm.

Calcolare la tensione di snervamento $R_{p0,2}$ e la resistenza a trazione $R_m$ .
Calcolare l'allungamento e la variazione di diametro quando il provino è caricato con $20{,}0$ kN. Il carico è nel campo elastico?
Calcolare l'allungamento percentuale a rottura $A\%$ e la strizione $Z\%$ .
Calcolare la resilienza ( $U_r = \sigma_y^2/2E$ ) e l'energia elastica immagazzinata nel tratto utile allo snervamento.
A $R_m$ la deformazione ingegneristica è $\varepsilon = 0{,}15$ : calcolare tensione e deformazione vere.
Domanda teorica: perché la tensione ingegneristica cala dopo il massimo mentre il materiale continua a incrudirsi?

1. Tensioni caratteristiche

Area iniziale: $A_0 = \dfrac{\pi d_0^2}{4} = \dfrac{\pi\cdot10{,}00^2}{4} = 78{,}54\ \text{mm}^2$ . Con la forza in N e l'area in mm $^2$ si ottiene MPa: $R_{p0,2} = \frac{F_y}{A_0} = \frac{28\,300}{78{,}54} = \mathbf{360{,}3\ MPa}, \qquad R_m = \frac{F_{max}}{A_0} = \frac{40\,000}{78{,}54} = \mathbf{509{,}3\ MPa}$ Si usa sempre l'area iniziale $A_0$ .

2. Carico di $20$ kN

$\sigma = \frac{20\,000}{78{,}54} = 254{,}6\ \text{MPa}\ <\ R_{p0,2}$ quindi il carico è elastico e vale Hooke ( $E = 210\,000$ MPa): $\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{254{,}6}{210\,000} = 1{,}213\cdot10^{-3}, \qquad \Delta L = \varepsilon L_0 = 1{,}213\cdot10^{-3}\cdot50{,}0 = \mathbf{0{,}0606\ mm}$ Deformazione laterale: $\varepsilon_{lat} = -\nu\,\varepsilon = -0{,}30\cdot1{,}213\cdot10^{-3} = -3{,}64\cdot10^{-4}$ , quindi $\Delta d = \varepsilon_{lat}\,d_0 = -3{,}64\cdot10^{-4}\cdot10{,}00 = \mathbf{-3{,}64\cdot10^{-3}\ mm}$ (il diametro si riduce di $3{,}6$ micrometri). All'inizio dello snervamento la deformazione è $\varepsilon_y = \frac{360{,}3}{210\,000} = 1{,}716\cdot10^{-3}$ ( $\Delta L = 0{,}0858$ mm): le deformazioni elastiche sono molto piccole, circa $0{,}2\%$ .

3. Duttilità

$A\% = \frac{L_f - L_0}{L_0}\cdot100 = \frac{63{,}5 - 50{,}0}{50{,}0}\cdot100 = \mathbf{27{,}0\%}$ Sezione finale: $A_f = \frac{\pi\cdot6{,}2^2}{4} = 30{,}19$ mm $^2$ . $Z\% = \frac{A_0 - A_f}{A_0}\cdot100 = \frac{78{,}54 - 30{,}19}{78{,}54}\cdot100 = \mathbf{61{,}6\%}$ L'acciaio è molto duttile: forte strizione e allungamento oltre il $20\%$ .

4. Resilienza

$U_r = \frac{\sigma_y^2}{2E} = \frac{(360{,}3\cdot10^6)^2}{2\cdot210\cdot10^9} = 3{,}09\cdot10^{5}\ \text{J/m}^3 = \mathbf{0{,}309\ MJ/m^3}$ Volume del tratto utile: $V = A_0L_0 = 78{,}54\cdot50{,}0 = 3927\ \text{mm}^3 = 3{,}927\cdot10^{-6}$ m $^3$ . Energia: $U = 3{,}09\cdot10^5\cdot3{,}927\cdot10^{-6} = \mathbf{1{,}21\ J}$ (la stessa energia di una molla: $\frac12F_y\Delta L_y = \frac12\cdot28\,300\cdot8{,}58\cdot10^{-5} = 1{,}21$ J ✓, Forza elastica).

5. Tensioni e deformazioni vere

$\sigma_v = \sigma(1+\varepsilon) = 509{,}3\cdot1{,}15 = \mathbf{585{,}7\ MPa}, \qquad \varepsilon_v = \ln(1+\varepsilon) = \ln1{,}15 = \mathbf{0{,}1398}$ Questa conversione vale fino al massimo (deformazione uniforme), perché si basa sulla conservazione del volume ( $A L = A_0L_0$ ) e la sezione resta uniforme.

6. Domanda teorica

La tensione ingegneristica è $F/A_0$ con l'area iniziale. Dopo il massimo la deformazione si concentra in una zona (strizione) dove la sezione si riduce; la forza necessaria cala perché l'area si riduce più in fretta di quanto il materiale si indurisca, e $F/A_0$ diminuisce. La tensione vera, $F/A$ con l'area istantanea, continua invece a crescere fino alla rottura: il materiale si incrudisce sempre. Il massimo di $F$ è l'istante in cui la perdita di sezione compensa l'incrudimento (instabilità plastica).

Risultati

grandezza	valore
$R_{p0,2}$ , $R_m$	$360{,}3$ MPa, $509{,}3$ MPa
a $20$ kN	$\Delta L = 0{,}0606$ mm, $\Delta d = -3{,}6\ \mu$ m, elastico
$A\%$ , $Z\%$	$27{,}0\%$ , $61{,}6\%$
resilienza, energia allo snervamento	$0{,}309$ MJ/m $^3$ , $1{,}21$ J
a $R_m$ : vere	$585{,}7$ MPa, $0{,}1398$

Errori comuni

Usare la sezione finale nella tensione ingegneristica.
Mescolare le unità: $E$ in GPa con $\sigma$ in MPa (converti: $210$ GPa $= 210\,000$ MPa).
Applicare Hooke oltre lo snervamento.
Dimenticare il segno nella contrazione laterale: il diametro diminuisce.

Versione ripasso

Testo. Provino $d_0 = 10{,}00$ mm, $L_0 = 50{,}0$ mm, $E = 210$ GPa, $\nu = 0{,}30$ ; $F_y = 28{,}3$ kN, $F_{max} = 40{,}0$ kN; a rottura $L_f = 63{,}5$ mm e $d_f = 6{,}2$ mm. Tensioni caratteristiche; effetto di $20$ kN; $A\%$ e $Z\%$ ; resilienza ed energia; tensioni vere a $\varepsilon = 0{,}15$ ; perché $F/A_0$ cala dopo il massimo.

Soluzione (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico)

$A_0 = 78{,}54$ mm $^2$ ; $R_{p0,2} = 28\,300/78{,}54 = 360{,}3$ MPa; $R_m = 40\,000/78{,}54 = 509{,}3$ MPa.
$20$ kN: $\sigma = 254{,}6$ MPa $<R_{p0,2}$ , elastico; $\varepsilon = 254{,}6/210\,000 = 1{,}213\cdot10^{-3}$ , $\Delta L = 0{,}0606$ mm; $\Delta d = -\nu\varepsilon d_0 = -3{,}64\cdot10^{-3}$ mm.
$A\% = (63{,}5 - 50{,}0)/50{,}0 = 27{,}0\%$ ; $A_f = 30{,}19$ mm $^2$ , $Z\% = 61{,}6\%$ .
$U_r = \sigma_y^2/2E = 0{,}309$ MJ/m $^3$ ; volume $3{,}927\cdot10^{-6}$ m $^3$ , energia $1{,}21$ J.
$\sigma_v = 509{,}3\cdot1{,}15 = 585{,}7$ MPa, $\varepsilon_v = \ln1{,}15 = 0{,}1398$ .
Dopo il massimo la sezione cala più in fretta dell'incrudimento (strizione); la tensione vera $F/A$ continua a crescere.

Errori tipici: sezione finale nella tensione ingegneristica; GPa e MPa mescolati; Hooke oltre lo snervamento; segno della contrazione.