Esercizio - righe di Balmer e ionizzazione dell'idrogeno

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Teoria: Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioni.

Testo. Per l'atomo di idrogeno le energie dei livelli sono $E_n = -13{,}606/n^2\ \text{eV}$ . Si usi $hc = 1239{,}84\ \text{eV nm}$ , $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\ \text{J}$ e $N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ .

Calcolare energia e lunghezza d'onda dei fotoni emessi nelle transizioni $3\to2$ e $4\to2$ (serie di Balmer) e dire di che colore sono.
Quale lunghezza d'onda massima ha un fotone capace di ionizzare un atomo che si trova nel livello $n=2$ ? E uno che si trova nello stato fondamentale?
Lo ione $\text{He}^+$ ha un solo elettrone e $Z = 2$ : quanto vale la sua energia di ionizzazione dallo stato fondamentale?
Domanda teorica: un fotone di lunghezza d'onda $500\ \text{nm}$ ( $2{,}48\ \text{eV}$ ) può essere assorbito da un atomo di idrogeno nello stato fondamentale? Perché lo spettro dell'idrogeno è fatto di righe?

1. Transizioni di Balmer

Il fotone emesso porta via la differenza di energia fra i due livelli: $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f}$ .

Transizione $3\to 2$ .

$\Delta E = 13{,}606\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 13{,}606\,(0{,}25 - 0{,}1111) = 13{,}606\cdot 0{,}13889 = \mathbf{1{,}890\ eV}$

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1239{,}84\ \text{eV nm}}{1{,}890\ \text{eV}} = \mathbf{656{,}1\ nm}\quad(\text{rosso})$

In unità chimiche: $1{,}890\ \text{eV}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\ \text{J/eV}\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = 182{,}3\ \text{kJ/mol}$ .

Transizione $4\to2$ .

$\Delta E = 13{,}606\left(\frac14 - \frac1{16}\right) = 13{,}606\cdot 0{,}1875 = \mathbf{2{,}551\ eV}\qquad\lambda = \frac{1239{,}84}{2{,}551} = \mathbf{486{,}0\ nm}\quad(\text{blu-verde})$

Due righe del visibile (la terza, $5\to2$ , è a $433{,}9\ \text{nm}$ , violetta). Tutte le righe di Balmer finiscono su $n=2$ ; con $n_f=1$ (Lyman) i fotoni sono molto più energetici ( $2\to1$ : $10{,}20\ \text{eV}$ , $121{,}5\ \text{nm}$ , ultravioletto).

2. Ionizzazione

Ionizzare significa portare l'elettrone a $n\to\infty$ , dove $E=0$ . L'energia minima è $0 - E_n = 13{,}606/n^2$ .

Da $n=2$ : $E_2 = -13{,}606/4 = -3{,}401\ \text{eV}$ , quindi servono almeno $3{,}401\ \text{eV}$ : $\lambda_{\max} = 1239{,}84/3{,}401 = \mathbf{364{,}5\ nm}$ (ultravioletto vicino).
Dallo stato fondamentale: $13{,}606\ \text{eV}$ , $\lambda_{\max} = 1239{,}84/13{,}606 = \mathbf{91{,}1\ nm}$ . In kJ/mol: $13{,}606\cdot 96{,}485 = 1313\ \text{kJ/mol}$ (il fattore $96{,}485\ \text{kJ/(mol eV)}$ è $e N_A/1000$ ).

Un fotone con lunghezza d'onda maggiore del massimo non ha l'energia per ionizzare: per questo il limite è un massimo di $\lambda$ .

3. $\text{He}^+$

Per uno ione con un solo elettrone e carica nucleare $Z$ le energie sono $E_n = -13{,}606\,Z^2/n^2\ \text{eV}$ (l'attrazione è $Z$ volte più forte). Per lo stato fondamentale:

$E_1 = -13{,}606\cdot 2^2 = -54{,}42\ \text{eV}\quad\Rightarrow\quad\text{energia di ionizzazione}\ \mathbf{54{,}4\ eV}\quad(\lambda = 22{,}8\ \text{nm})$

cioè $4$ volte quella dell'idrogeno.

4. Domanda teorica

Le energie permesse a partire dal fondamentale sono differenze $E_n - E_1$ : $10{,}20$ ( $n=2$ ), $12{,}09$ ( $n=3$ ), $12{,}75$ ( $n=4$ )… fino a $13{,}606\ \text{eV}$ (ionizzazione). Un fotone da $2{,}48\ \text{eV}$ non coincide con nessuna di queste, quindi non può essere assorbito: l'atomo lascia passare la luce, a meno che l'energia non sia esattamente quella di un salto.

Lo spettro è a righe proprio per questo: l'atomo ha solo livelli discreti (quantizzati), quindi emette o assorbe solo fotoni con energia pari alle differenze fra livelli. Un corpo caldo (solido o liquido) ha moltissimi livelli vicini e dà invece uno spettro continuo.

Risultati

transizione	$\Delta E$	$\lambda$	colore
$3\to2$	$1{,}890\ \text{eV}$	$656{,}1\ \text{nm}$	rosso
$4\to2$	$2{,}551\ \text{eV}$	$486{,}0\ \text{nm}$	blu-verde
ionizzazione da $n=2$	$3{,}401\ \text{eV}$	$\le 364{,}5\ \text{nm}$	UV
ionizzazione di H	$13{,}606\ \text{eV}$	$\le 91{,}1\ \text{nm}$	UV
ionizzazione di $\text{He}^+$	$54{,}42\ \text{eV}$	$\le 22{,}8\ \text{nm}$	UV estremo

Errori comuni

Invertire i livelli e ottenere una energia negativa: l'energia del fotone emesso è sempre positiva, $E_{\text{alto}} - E_{\text{basso}}$ .
Dare a $\lambda_{\max}$ il significato di minimo: energia grande vuol dire lunghezza d'onda piccola.
Dimenticare $Z^2$ per gli ioni idrogenoidi.

Versione ripasso

Testo. Idrogeno: $E_n = -13{,}606/n^2\ \text{eV}$ , $hc = 1239{,}84\ \text{eV nm}$ . Calcolare le righe $3\to2$ e $4\to2$ , la $\lambda_{\max}$ per ionizzare da $n=2$ e dal fondamentale, l'energia di ionizzazione di $\text{He}^+$ e dire se un fotone di $500\ \text{nm}$ viene assorbito dall'idrogeno fondamentale.

Soluzione

$3\to2$ : $\Delta E = 13{,}606(1/4 - 1/9) = 1{,}890\ \text{eV}$ , $\lambda = 1239{,}84/1{,}890 = 656{,}1\ \text{nm}$ (rosso). $4\to2$ : $2{,}551\ \text{eV}$ , $486{,}0\ \text{nm}$ (blu-verde).
Ionizzazione: $E = 13{,}606/n^2$ ; da $n=2$ $3{,}401\ \text{eV}$ , $\lambda_{\max} = 364{,}5\ \text{nm}$ ; dal fondamentale $13{,}606\ \text{eV}$ , $91{,}1\ \text{nm}$ ( $1313\ \text{kJ/mol}$ ).
$\text{He}^+$ : $E_n = -13{,}606\,Z^2/n^2$ , quindi $54{,}42\ \text{eV}$ ( $22{,}8\ \text{nm}$ ).
Un fotone da $2{,}48\ \text{eV}$ non coincide con nessun salto permesso ( $10{,}20$ , $12{,}09$ , $12{,}75\ \text{eV}\dots$ ): non è assorbito. Spettro a righe perché i livelli sono discreti.

Risultati: $3\to2$ $1{,}890\ \text{eV}$ ( $182{,}3\ \text{kJ/mol}$ ), $656{,}1\ \text{nm}$ rosso; $4\to2$ $2{,}551\ \text{eV}$ , $486{,}0\ \text{nm}$ ; ionizzazione da $n=2$ $3{,}401\ \text{eV}$ ( $364{,}5\ \text{nm}$ ), dal fondamentale $13{,}606\ \text{eV}$ ( $91{,}1\ \text{nm}$ ); $\text{He}^+$ $54{,}42\ \text{eV}$ ( $22{,}8\ \text{nm}$ ).

Errori comuni: livelli invertiti (energia negativa); scambiare massimo e minimo di $\lambda$ ; dimenticare $Z^2$ .

Teoria collegata

Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioni