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Note per Studenti Esercizio - densità del rame, raggio atomico e fattore di impaccamento

Esercizio - densità del rame, raggio atomico e fattore di impaccamento

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Teoria: Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte →.

Testo. Il rame ha struttura cubica a facce centrate (FCC), massa molare 63,54663{,}546 g/mol e densità 8,968{,}96 g/cm3^3. Il cromo ha struttura cubica a corpo centrato (BCC), raggio atomico R=0,125R = 0{,}125 nm e massa molare 51,99651{,}996 g/mol. Si usi NA=6,022⋅1023N_A = 6{,}022\cdot10^{23} mol−1^{-1}.

  1. Dalla densità del rame calcolare il lato aa della cella e il raggio atomico RR.
  2. Calcolare il fattore di impaccamento (APF) del rame e verificare il valore teorico.
  3. Calcolare lato della cella e densità del cromo.
  4. Domanda teorica: perché il fattore di impaccamento di sfere uguali non può superare 0,740{,}74? Quale struttura di quelle viste ha un APF minore e perché ciò implica una densità minore, a parità di massa atomica e raggio?

1. Lato e raggio del rame

Nella cella FCC ci sono n=4n = 4 atomi. La massa della cella è 4M/NA4M/N_A e il suo volume a3a^3, quindi ρ=nMa3NA  ⟹  a3=nMρNA=4⋅63,5468,96⋅6,022⋅1023=254,185,396⋅1024=4,711⋅10−23 cm3\rho = \frac{nM}{a^3N_A} \;\Longrightarrow\; a^3 = \frac{nM}{\rho N_A} = \frac{4\cdot63{,}546}{8{,}96\cdot6{,}022\cdot10^{23}} = \frac{254{,}18}{5{,}396\cdot10^{24}} = 4{,}711\cdot10^{-23}\ \text{cm}^3 a=(4,711⋅10−23)1/3=3,612⋅10−8 cm=0,3612 nma = \left(4{,}711\cdot10^{-23}\right)^{1/3} = 3{,}612\cdot10^{-8}\ \text{cm} = \mathbf{0{,}3612\ nm}

(Si ricorda 11 nm =10−7= 10^{-7} cm.) Gli atomi si toccano lungo la diagonale di faccia, a2=4Ra\sqrt2 = 4R: R=a24=0,3612⋅1,41424=0,1277 nmR = \frac{a\sqrt2}{4} = \frac{0{,}3612\cdot1{,}4142}{4} = \mathbf{0{,}1277\ nm}

Il valore tabulato è 0,12780{,}1278 nm ✓.

2. Fattore di impaccamento

Volume occupato dagli atomi nella cella: 4⋅43πR3=4⋅43π(0,1277)3=0,034894\cdot\frac43\pi R^3 = 4\cdot\frac43\pi(0{,}1277)^3 = 0{,}03489 nm3^3. Volume della cella: a3=0,36123=0,04712a^3 = 0{,}3612^3 = 0{,}04712 nm3^3.

APF=0,034890,04712=0,740\mathrm{APF} = \frac{0{,}03489}{0{,}04712} = \mathbf{0{,}740}

uguale al valore teorico π/(32)=0,7405\pi/(3\sqrt2) = 0{,}7405, perché aa e RR sono legati dalla stessa relazione geometrica.

3. Cromo

Nel BCC gli atomi si toccano lungo la diagonale del cubo, a3=4Ra\sqrt3 = 4R: a=4R3=4⋅0,1251,7321=0,2887 nm=2,887⋅10−8 cma = \frac{4R}{\sqrt3} = \frac{4\cdot0{,}125}{1{,}7321} = \mathbf{0{,}2887\ nm} = 2{,}887\cdot10^{-8}\ \text{cm} Con n=2n = 2: ρ=2⋅51,996(2,887⋅10−8)3⋅6,022⋅1023=103,992,406⋅10−23⋅6,022⋅1023=7,18 g/cm3\rho = \frac{2\cdot51{,}996}{(2{,}887\cdot10^{-8})^3\cdot6{,}022\cdot10^{23}} = \frac{103{,}99}{2{,}406\cdot10^{-23}\cdot6{,}022\cdot10^{23}} = \mathbf{7{,}18\ g/cm^3} (il valore sperimentale è 7,197{,}19 g/cm3^3 ✓). L'APF del cromo è 0,6800{,}680.

4. Domanda teorica

Disporre sfere uguali nel modo più denso possibile porta al massimo π/18=0,7405\pi/\sqrt{18} = 0{,}7405 (le strutture FCC e HCP), che è il limite per sfere identiche in qualunque disposizione periodica. La struttura meno compatta tra quelle viste è la cubica semplice (0,5240{,}524), poi la BCC (0,6800{,}680). A parità di raggio atomico e di massa atomica, un APF minore significa meno massa per unità di volume: la densità è proporzionale a n M/Vc=APF⋅M/(43πR3NA)n\,M/V_c = \mathrm{APF}\cdot M/(\frac43\pi R^3 N_A). Quindi se il cromo fosse FCC avrebbe una densità del 8,8%8{,}8\% più alta (0,740/0,680=1,0880{,}740/0{,}680 = 1{,}088).

Risultati

grandezza valore
lato aa del rame 0,36120{,}3612 nm
raggio RR del rame 0,12770{,}1277 nm
APF del rame 0,7400{,}740
lato aa e densità del cromo 0,28870{,}2887 nm, 7,187{,}18 g/cm3^3

Errori comuni

  • Dimenticare di convertire nm in cm prima di elevare al cubo.
  • Usare n=1n = 1 (un solo atomo per cella) invece di 44 per la FCC e 22 per la BCC.
  • Usare la diagonale del cubo per la FCC o la diagonale di faccia per la BCC.

Versione ripasso

Testo. Cu FCC (M=63,546M = 63{,}546 g/mol, ρ=8,96\rho = 8{,}96 g/cm3^3): aa, RR, APF. Cr BCC (R=0,125R = 0{,}125 nm, M=51,996M = 51{,}996 g/mol): aa e ρ\rho. Perché APF≤0,74\mathrm{APF}\le0{,}74.

Soluzione (Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte →)

  • a3=nM/(ρNA)=4⋅63,546/(8,96⋅6,022⋅1023)=4,711⋅10−23a^3 = nM/(\rho N_A) = 4\cdot63{,}546/(8{,}96\cdot6{,}022\cdot10^{23}) = 4{,}711\cdot10^{-23} cm3^3, a=0,3612a = 0{,}3612 nm (con 11 nm =10−7= 10^{-7} cm). a2=4Ra\sqrt2 = 4R, quindi R=0,1277R = 0{,}1277 nm.
  • APF=4⋅43πR3/a3=0,03489/0,04712=0,740=π/(32)\mathrm{APF} = 4\cdot\tfrac43\pi R^3/a^3 = 0{,}03489/0{,}04712 = 0{,}740 = \pi/(3\sqrt2).
  • Cr: a3=4Ra\sqrt3 = 4R, a=0,2887a = 0{,}2887 nm; ρ=2⋅51,996/(2,406⋅10−23⋅6,022⋅1023)=7,18\rho = 2\cdot51{,}996/(2{,}406\cdot10^{-23}\cdot6{,}022\cdot10^{23}) = 7{,}18 g/cm3^3; APF 0,6800{,}680.
  • Il limite π/18=0,7405\pi/\sqrt{18} = 0{,}7405 vale per sfere uguali; la densità è proporzionale all'APF a parità di MM e RR (Cr come FCC: +8,8%+8{,}8\%).

Errori tipici: nm non convertiti in cm; nn sbagliato; diagonale sbagliata.

Teoria collegata