Atomi, isotopi, massa atomica e mole

Prima nota del corso. Seguito: Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioniGli elettroni dell'atomo hanno energie quantizzate (spettri a righe, E_n = -13,6 eV / n^2 per l'idrogeno) e si comportano come onde (de Broglie, Heisenberg): la loro descrizione è l'orbitale, caratterizzato da n, l, m_l; lo spin m_s = ±1/2 dà il quarto numero quantico. La configurazione elettronica si costruisce con tre regole: ordine di energia (Aufbau, n + l), principio di esclusione di Pauli (al massimo 2 elettroni per orbitale, a spin opposto) e regola di Hund (a parità di energia gli elettroni occupano orbitali diversi a spin parallelo).Struttura elettronica dell'atomo - numeri quantici e configurazioni →. Le quantità qui definite (mole, massa molare) servono in Stechiometria - reagente limitante, resa e composizione percentualeI coefficienti di un'equazione bilanciata sono rapporti tra moli. Ogni calcolo segue lo schema grammi -> moli (m/M) -> moli dell'altra specie (rapporto dei coefficienti) -> grammi. Composizione percentuale: w_el = n * M_el / M_composto * 100. Formula minima: dalle percentuali alle moli di ogni elemento, divise per il minore. Reagente limitante: quello con il rapporto n/coefficiente più piccolo, determina la quantità di prodotto. Resa percentuale = massa reale / massa teorica * 100.Stechiometria - reagente limitante, resa e composizione percentuale → e in tutta la parte sui gas e sulle soluzioni (Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimicaUn gas ideale obbedisce a PV = nRT (R = 0,08206 L atm/(mol K) = 8,314 J/(mol K)); da qui volume molare (22,41 L a 0 °C e 1 atm), densità e massa molare. In una miscela la pressione totale è la somma delle pressioni parziali (Dalton), p_i = x_i P. La teoria cinetica dà ½ m v² = 3/2 kT e la velocità quadratica media √(3RT/M). I gas reali si scostano dall'ideale ad alta pressione e bassa temperatura: l'equazione di van der Waals (P + a n²/V²)(V − nb) = nRT corregge forze attrattive e volume proprio delle molecole.Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimica →). Esercizi: Esercizio - massa atomica media del cloro e del magnesio, Esercizio - abbondanze isotopiche del rame dalla massa atomica, Esercizio - mole, atomi e molecole in un cubo di alluminio e in un bicchiere d'acqua, Esercizio - difetto di massa ed energia di legame di elio-4 e ferro-56.

I costituenti della materia

Tutta la materia ordinaria è fatta di atomi. Un atomo è formato da un nucleo, molto piccolo e molto denso, e da una nuvola di elettroni che gli sta intorno. Il nucleo contiene due tipi di particelle, detti insieme nucleoni:

Due fatti da ricordare:

• l'elettrone pesa circa 1/1836 del protone: praticamente tutta la massa dell'atomo sta nel nucleo;
• l'atomo ha dimensioni di circa $10^{-10}\ \text{m}$ (un ångström), il nucleo di circa $10^{-15}\ \text{m}$ (un femtometro): il nucleo è centomila volte più piccolo dell'atomo. Il raggio nucleare segue $R \approx 1{,}2\cdot 10^{-15}\,A^{1/3}\ \text{m}$, per $A=56$ è $4{,}6\ \text{fm}$.

Protoni e neutroni non sono particelle elementari: ciascuno è formato da tre quarkParticelle elementari che si legano a gruppi di tre per formare protoni e neutroni; non esistono mai isolate. Il protone è uud, il neutrone udd.. Gli elettroni invece sono elementari. A noi interessa solo che nella chimica contano protoni, neutroni ed elettroni.

Le interazioni fondamentali

Quattro interazioni governano tutto ciò che accade. Per la chimica contano soprattutto le prime due:

Un confronto fa capire perché la gravità non conta per gli atomi. Tra due protoni il rapporto fra la forza elettrica e quella gravitazionale è

$$\frac{k e^2}{G m_p^2} = \frac{2{,}307\cdot 10^{-28}}{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot(1{,}6726\cdot 10^{-27})^2} \approx 1{,}2\cdot 10^{36}$$

dove $k e^2 = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot(1{,}602\cdot 10^{-19})^2 = 2{,}307\cdot 10^{-28}\ \text{N m}^2$ (si veda Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1La carica elettrica è positiva o negativa, si conserva ed è multipla di e = 1,602·10^-19 C. Due cariche puntiformi si respingono se hanno lo stesso segno e si attraggono se hanno segno opposto con una forza F = k q1 q2 / r², diretta lungo la congiungente. Nei conduttori le cariche si muovono liberamente, negli isolanti restano dove sono; con più cariche le forze si sommano (sovrapposizione).Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1 → e Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →).

Perché il nucleo non esplode, visto che i protoni si respingono? A distanza $d = 1\ \text{fm} = 10^{-15}\ \text{m}$ la repulsione elettrica tra due protoni è $F = ke^2/d^2 = 2{,}307\cdot 10^{-28}/10^{-30} = 231\ \text{N}$: enorme per una particella. A queste distanze però l'interazione forte attrae i nucleoni con una forza ancora più grande, ma solo entro pochi femtometri. Fuori dal nucleo non si sente più: per questo la chimica, che avviene a distanze atomiche, dipende solo da forze elettromagnetiche.

Numero atomico, numero di massa, isotopi

Definizione. Il numero atomico $Z$ è il numero di protoni del nucleo. Il numero di massa $A$ è il numero di nucleoni, $A = Z + N$ con $N$ numero di neutroni.

$Z$ identifica l'elemento: tutti gli atomi con $Z = 6$ sono carbonio, tutti quelli con $Z = 26$ sono ferro. Un atomo neutro ha tanti elettroni quanti protoni ($Z$ elettroni). Si scrive

^{A}_{Z}\text{X}\qquad\text{per esempio}\qquad ^{56}_{26}\text{Fe}\ :\ 26\ \text{protoni},\ 56 - 26 = 30\ \text{neutroni},\ 26\ \text{elettroni}

Se l'atomo perde o acquista elettroni diventa uno ione: $^{56}_{26}\text{Fe}^{3+}$ ha 26 protoni, 30 neutroni e $26 - 3 = 23$ elettroni; $^{35}_{17}\text{Cl}^-$ ha 17 protoni, 18 neutroni e $17 + 1 = 18$ elettroni. Gli elettroni cambiano la carica, non l'identità dell'elemento.

Definizione. Gli isotopi di un elemento sono atomi con lo stesso $Z$ e diverso $N$ (quindi diverso $A$). Hanno le stesse proprietà chimiche, perché dipendono dagli elettroni, e massa diversa.

Esempi: l'idrogeno ha tre isotopi, $^1$H (prozio, 1 protone), $^2$H (deuterio, 1 p e 1 n) e $^3$H (trizio, radioattivo). Il carbonio ha $^{12}$C e $^{13}$C stabili e $^{14}$C radioattivo (usato per le datazioni). L'uranio ha $^{235}$U e $^{238}$U: stesso $Z = 92$, tre neutroni di differenza.

I nuclei stabili leggeri hanno $N \approx Z$; con $Z$ crescente servono sempre più neutroni per compensare la repulsione tra i protoni (il ferro ha $N/Z = 30/26 \approx 1{,}15$, il piombo $^{208}$Pb ha $126/82 \approx 1{,}54$).

L'unità di massa atomica

Le masse degli atomi sono dell'ordine di $10^{-26}\ \text{kg}$: scomode in kg. Si usa l'unità di massa atomica (u o dalton, Da):

$$1\ \text{u} = \frac{1}{12}\,m\big(^{12}\text{C}\big) = 1{,}6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$

Per definizione l'atomo $^{12}$C pesa esattamente $12$ u. La massa di un nucleone è quindi circa $1$ u e la massa di un atomo in u è circa uguale ad $A$. Non è esattamente $A$: la massa di un nucleo è un po' inferiore alla somma delle masse dei nucleoni (difetto di massa, più avanti).

Massa atomica media

Gli elementi in natura sono miscele di isotopi in proporzioni quasi costanti. La massa atomica riportata sulla tavola periodica è la media pesata delle masse isotopiche, con pesi le abbondanze naturali $x_i$ (frazioni, con $\sum x_i = 1$):

$$\bar m = \sum_i x_i\, m_i$$

Esempio. Cloro. Il cloro naturale è $^{35}$Cl (massa $34{,}9689\ \text{u}$, abbondanza $75{,}76\,\%$) e $^{37}$Cl ($36{,}9659\ \text{u}$, $24{,}24\,\%$). $\bar m = 0{,}7576\cdot 34{,}9689 + 0{,}2424\cdot 36{,}9659 = 26{,}4924 + 8{,}9605 = 35{,}453\ \text{u}$. Nessun atomo di cloro pesa $35{,}45\ \text{u}$: è la media. Il valore sulla tavola è $35{,}45$.

Il metodo inverso: se sono noti la massa media e le masse dei due isotopi, l'abbondanza $x$ del primo si trova da $x\,m_1 + (1 - x)\,m_2 = \bar m$, da cui $x = \dfrac{m_2 - \bar m}{m_2 - m_1}$. Si veda l'esercizio sul rame.

La mole

Contare gli atomi uno a uno è impossibile: si contano in blocchi. La mole (mol) è la quantità di sostanza che contiene $N_A$ entità elementari (atomi, molecole, ioni, elettroni…):

$$N_A = 6{,}02214076\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}\quad(\text{numero di Avogadro})$$

Il valore è fissato dal Sistema Internazionale. Per costruzione, $N_A$ è il numero di atomi in $12\ \text{g}$ di $^{12}$C (valore storico, ora in realtà una definizione indipendente, ma il legame resta valido con ottima approssimazione).

Massa molare. La massa molare $M$ di una sostanza è la massa di una mole, in g/mol. Numericamente è uguale alla massa atomica (o molecolare) espressa in u, perché $N_A\cdot 1\ \text{u} = 6{,}022\cdot 10^{23}\cdot 1{,}6605\cdot 10^{-24}\ \text{g} = 1{,}000\ \text{g}$.

Quindi $M(\text{Fe}) = 55{,}845\ \text{g/mol}$, $M(\text{H}_2\text{O}) = 2\cdot 1{,}008 + 15{,}999 = 18{,}015\ \text{g/mol}$ (massa molecolare $18{,}015\ \text{u}$).

Le tre formule da avere sempre pronte, con $m$ massa in g, $n$ moli e $N$ numero di particelle:

$$n = \frac{m}{M}\qquad N = n\,N_A\qquad m_{\text{1 particella}} = \frac{M}{N_A}$$

Esempio. $5{,}00\ \text{g}$ d'acqua. $n = 5{,}00/18{,}015 = 0{,}2775\ \text{mol}$; molecole: $N = 0{,}2775\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = 1{,}671\cdot 10^{23}$; atomi di idrogeno: due per molecola, $3{,}34\cdot 10^{23}$; massa di una molecola: $18{,}015\cdot 10^{-3}/6{,}022\cdot 10^{23} = 2{,}99\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$.

Per i composti si distingue: massa molecolare (somma delle masse atomiche nella formula) per le sostanze fatte di molecole; massa formula per i composti ionici o reticolari (NaCl: $22{,}990 + 35{,}45 = 58{,}44\ \text{g/mol}$, non esistono molecole di NaCl).

NA = 6.02214076e23
M_Al, rho = 26.982, 2.70            # g/mol e g/cm^3
lato = 2.00                          # cm
m = rho * lato**3                    # g
n = m / M_Al
print(f"massa {m:.1f} g, moli {n:.3f} mol, atomi {n*NA:.3e}")
print(f"massa di un atomo: {M_Al*1e-3/NA:.3e} kg")

L'output è: massa 21.6 g, moli 0.801 mol, atomi 4.821e+23 e massa di un atomo: 4.480e-26 kg. (In MATLAB e in qualunque calcolatrice: stesse tre formule.)

Difetto di massa ed energia di legame

Se si pesa un nucleo si trova una massa inferiore alla somma delle masse dei suoi protoni e neutroni separati. La differenza è il difetto di massa:

$$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{nucleo}}$$

Quella massa mancante è diventata energia, liberata quando il nucleo si è formato, secondo la relazione di Einstein $E = \Delta m\,c^2$. Per separare di nuovo i nucleoni bisogna restituire questa energia, detta energia di legame. Per il calcolo pratico si usano le masse degli atomi neutri (gli elettroni, in numero uguale, si compensano) e il fattore $1\ \text{u}\cdot c^2 = 931{,}494\ \text{MeV}$.

Esempio. Elio-4. $Z = 2$, $N = 2$. Si usano le masse atomiche: $^1$H $= 1{,}007825\ \text{u}$ (protone più elettrone), neutrone $1{,}008665\ \text{u}$, $^4$He $= 4{,}002603\ \text{u}$. $\Delta m = 2\cdot 1{,}007825 + 2\cdot 1{,}008665 - 4{,}002603 = 0{,}030377\ \text{u}$. $E = 0{,}030377\cdot 931{,}494 = 28{,}30\ \text{MeV}$, cioè $28{,}30/4 = 7{,}07\ \text{MeV}$ per nucleone. In unità chimiche: $\Delta m = 0{,}030377\ \text{g/mol}$ per mole di nuclei, $E = 3{,}0377\cdot 10^{-5}\ \text{kg}\cdot(2{,}998\cdot 10^8)^2 = 2{,}73\cdot 10^{12}\ \text{J/mol}$. Un legame chimico vale $10^2$–$10^3\ \text{kJ/mol}$: l'energia nucleare è da milioni a decine di milioni di volte più grande ($2{,}73\cdot 10^{12}/4{,}5\cdot 10^{5} \approx 6\cdot 10^{6}$ rispetto a un legame da $450\ \text{kJ/mol}$).

L'energia di legame per nucleone ha un massimo attorno al ferro-56 ($8{,}79\ \text{MeV}$; il nichel-62 ha un valore appena più alto, $8{,}79\ \text{MeV}$ anche lui): i nuclei della zona del ferro sono i più stabili. Perciò si libera energia sia fondendo nuclei leggeri (fusione) sia spezzando nuclei molto pesanti (fissione).

Errori comuni

• Confondere $Z$ e $A$: $Z$ dà gli elettroni dell'atomo neutro, $A - Z$ i neutroni.
• Usare $A$ come massa media: la massa sulla tavola è la media pesata, non è mai un intero (tranne per gli elementi monoisotopici).
• Dimenticare di passare le percentuali a frazioni nella media pesata: $75{,}76\,\%$ va usato come $0{,}7576$.
• Scambiare $M$ (g/mol) e massa in u: hanno lo stesso numero, ma $M$ è per mole, la massa in u è per particella.
• Contare le molecole al posto degli atomi (o viceversa): $1\ \text{mol}$ di $\text{H}_2\text{O}$ ha $N_A$ molecole e $3N_A$ atomi.

Domande d'esame

1. Differenza fra isotopi e ioni di un elemento? Risposta: isotopi, stesso $Z$ e diverso numero di neutroni; ioni, stesso nucleo ma diverso numero di elettroni.
2. Perché la massa atomica del cloro è $35{,}45$ e non un intero? Risposta: è la media pesata dei due isotopi $^{35}$Cl e $^{37}$Cl con le loro abbondanze naturali.
3. Quante molecole in $18{,}015\ \text{g}$ di acqua e quanti atomi di ossigeno? Risposta: $1\ \text{mol} = 6{,}022\cdot 10^{23}$ molecole, e un atomo di O ciascuna, quindi $6{,}022\cdot 10^{23}$ atomi di O.
4. Perché il nucleo ha massa minore della somma dei nucleoni? Risposta: l'energia liberata nella formazione, $\Delta m\,c^2$, corrisponde a una massa mancante: è l'energia di legame.