Esercizio - incrudimento, ricristallizzazione e dilatazione termica vincolata

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Teoria: Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico.

Testo.

Parte A. Un filo di rame di diametro $4{,}0$ mm viene trafilato a freddo fino a $3{,}0$ mm. Dalle prove su fili di rame trafilati si hanno i seguenti dati (forniti dal testo):

$\%CW$	$0$	$20$	$40$	$60$
$R_{p0,2}$ (MPa)	$70$	$240$	$320$	$350$
$A\%$	$45$	$15$	$6$	$4$

Calcolare la deformazione a freddo percentuale e stimare per interpolazione lineare snervamento e allungamento del filo.
Il filo deve avere $30\%$ di deformazione a freddo partendo da un tondo di $5{,}0$ mm: quale diametro finale serve? Se invece si trafila prima a $4{,}0$ mm, quanta deformazione è già stata data?
Il rame fonde a $1358$ K. Stimare l'intervallo di temperatura di ricristallizzazione ( $0{,}3$ - $0{,}5\,T_f$ ) e dire se il filo si può ammorbidire con una ricottura a $400\,^\circ$ C.

Parte B. Una rotaia in acciaio ( $E = 210$ GPa, $\alpha = 12\cdot10^{-6}$ K $^{-1}$ , sezione $7700$ mm $^2$ ) lunga $25$ m è posata a $10\,^\circ$ C e in estate raggiunge $50\,^\circ$ C.

Quanto si allungherebbe se fosse libera?
Se le estremità sono bloccate, quali sono la tensione e la forza di compressione?
Domanda teorica: perché l'incrudimento aumenta la resistenza e riduce l'allungamento? Come si ripristina la duttilità?

1. Deformazione a freddo

$\%CW = \frac{A_0 - A_d}{A_0}\cdot100 = \left(1 - \frac{d_d^2}{d_0^2}\right)\cdot100 = \left(1 - \frac{3{,}0^2}{4{,}0^2}\right)\cdot100 = (1 - 0{,}5625)\cdot100 = \mathbf{43{,}75\%}$ (le aree sono proporzionali ai quadrati dei diametri, $\pi/4$ si semplifica). $43{,}75\%$ sta tra $40$ e $60$ ; la frazione di intervallo è $\frac{43{,}75 - 40}{20} = 0{,}1875$ : $R_{p0,2}\approx320 + 0{,}1875\cdot(350 - 320) = \mathbf{325{,}6\ MPa}, \qquad A\%\approx6 + 0{,}1875\cdot(4 - 6) = \mathbf{5{,}6\%}$ Dal rame ricotto ( $70$ MPa, $45\%$ ) lo snervamento è cresciuto di oltre quattro volte e l'allungamento è sceso a un ottavo.

2. Diametro finale

Per il $30\%$ di deformazione, $A_d = 0{,}70\,A_0$ , quindi $d_d = d_0\sqrt{0{,}70} = 5{,}0\cdot0{,}8367 = \mathbf{4{,}18\ mm}$ . Con una trafilatura da $5{,}0$ a $4{,}0$ mm: $\%CW = (1 - 4{,}0^2/5{,}0^2)\cdot100 = \mathbf{36{,}0\%}$ , oltre il $30\%$ richiesto: un filo da $4{,}0$ mm sarebbe già più incrudito del voluto.

3. Ricristallizzazione

$0{,}3\cdot1358 = 407$ K $=134\,^\circ$ C e $0{,}5\cdot1358 = 679$ K $=406\,^\circ$ C. Una ricottura a $400\,^\circ$ C ( $673$ K, quasi $0{,}5\,T_f$ ) è all'estremo superiore dell'intervallo: ricristallizza e ammorbidisce il filo, ma con tempo breve per non far crescere il grano. A $100\,^\circ$ C, invece, non succede nulla: sotto $T_{rec}$ le dislocazioni non si riorganizzano.

4. Rotaia libera

$\Delta T = 50 - 10 = 40$ K. $\Delta L = \alpha L_0\Delta T = 12\cdot10^{-6}\cdot25\cdot40 = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{m} = \mathbf{12\ mm}$

5. Rotaia bloccata

Se l'allungamento è impedito, la deformazione termica $\alpha\Delta T$ è compensata da una deformazione meccanica uguale e opposta, $\varepsilon = -\alpha\Delta T$ , e la tensione (Hooke) è $\sigma = E\,\alpha\,\Delta T = 210\,000\cdot12\cdot10^{-6}\cdot40 = \mathbf{100{,}8\ MPa}\ \text{(compressione)}$ Forza: $F = \sigma A = 100{,}8\cdot7700 = 776\,160\ \text{N} \approx \mathbf{776\ kN}$ . È molto inferiore allo snervamento (centinaia di MPa), ma può provocare l'instabilità (la rotaia si imbarca): per questo si lasciano giunti di dilatazione o si usano rotaie saldate pretensionate.

6. Domanda teorica

Con la deformazione plastica la densità di dislocazioni cresce di molti ordini di grandezza; le dislocazioni si intersecano e si bloccano a vicenda, e per farle muovere serve una tensione maggiore (aumenta lo snervamento). Contemporaneamente si esaurisce la capacità di deformazione plastica residua, e l'allungamento cala. Con la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) la densità di dislocazioni torna bassa, la durezza scende e la duttilità si ripristina.

Risultati

grandezza	valore
$\%CW$	$43{,}75\%$
$R_{p0,2}$ e $A\%$ stimati	$325{,}6$ MPa, $5{,}6\%$
diametro per $30\%$ CW	$4{,}18$ mm
ricristallizzazione del rame	$134$ - $406\,^\circ$ C
rotaia libera / bloccata	$12$ mm / $100{,}8$ MPa, $776$ kN

Errori comuni

Calcolare $\%CW$ con i diametri invece che con le aree.
Usare i gradi Celsius per $T_{rec}\approx0{,}4T_f$ : serve il kelvin.
Calcolare $\sigma = E\alpha\Delta T$ in unità miste ( $\alpha$ in K $^{-1}$ e $E$ in MPa danno MPa).

Versione ripasso

Testo. A) Filo di Cu da $4{,}0$ a $3{,}0$ mm; tabella $\%CW$ / $R_{p0,2}$ / $A\%$ ( $0$ : $70$ MPa e $45\%$ ; $20$ : $240$ , $15$ ; $40$ : $320$ , $6$ ; $60$ : $350$ , $4$ ); diametro per $30\%$ CW da $5{,}0$ mm; ricristallizzazione del Cu ( $T_f = 1358$ K). B) Rotaia lunga $25$ m ( $E = 210$ GPa, $\alpha = 12\cdot10^{-6}$ K $^{-1}$ , $7700$ mm $^2$ ) con $\Delta T = 40$ K: allungamento libero, tensione e forza se bloccata.

Soluzione (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico)

$\%CW = (1 - 3{,}0^2/4{,}0^2)\cdot100 = 43{,}75\%$ ; interpolazione con $0{,}1875$ : $R_{p0,2} = 325{,}6$ MPa, $A\% = 5{,}6$ .
$d_d = 5{,}0\sqrt{0{,}70} = 4{,}18$ mm; da $5{,}0$ a $4{,}0$ mm si avrebbe già $36\%$ .
$T_{rec} = 0{,}3$ - $0{,}5\,T_f = 407$ - $679$ K $= 134$ - $406\,^\circ$ C: a $400\,^\circ$ C si ricristallizza, a $100\,^\circ$ C no.
$\Delta L = 12\cdot10^{-6}\cdot25\cdot40 = 12$ mm; bloccata $\sigma = E\alpha\Delta T = 100{,}8$ MPa (compressione), $F = 100{,}8\cdot7700 = 776$ kN.
Incrudimento: dislocazioni moltiplicate e bloccate, più resistenza e meno duttilità; la ricottura le riduce.

Errori tipici: diametri al posto delle aree; $^\circ$ C nella regola di $T_{rec}$ ; unità miste.

Teoria collegata

Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico