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Note per Studenti Esercizio - carburazione di un acciaio e coefficiente di diffusione

Esercizio - carburazione di un acciaio e coefficiente di diffusione

In questa pagina 8

Teoria: Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →.

Testo. Un ingranaggio di acciaio con 0,15%0{,}15\% in massa di carbonio viene carburato in un'atmosfera che mantiene in superficie 1,00%1{,}00\% di C. Per la diffusione del carbonio nel ferro γ\gamma: D0=2,3⋅10−5D_0 = 2{,}3\cdot10^{-5} m2^2/s e Q=148Q = 148 kJ/mol (R=8,3145R = 8{,}3145 J/(mol K)). Si usa la soluzione Cs−CxCs−C0=erf⁡ ⁣(x2Dt)\dfrac{C_s - C_x}{C_s - C_0} = \operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).

  1. Calcolare DD a 11731173 K, 12231223 K e 12731273 K.
  2. A 12231223 K (950\,^\circC) quanto tempo serve per avere 0,45%0{,}45\% di C alla profondità di 0,500{,}50 mm?
  3. Quanto sale la temperatura se si vuole dimezzare il tempo?
  4. Dopo 44 h a 12231223 K, quanto vale il tenore di C a 0,20{,}2, 0,50{,}5 e 1,01{,}0 mm di profondità?
  5. Date le misure D(1100 K)=2,16⋅10−12D(1100\ \text{K}) = 2{,}16\cdot10^{-12} m2^2/s e D(1300 K)=2,60⋅10−11D(1300\ \text{K}) = 2{,}60\cdot10^{-11} m2^2/s, ricavare l'energia di attivazione.
  6. Domanda teorica: perché si carbura a temperature in cui il ferro è austenitico? Quali sono i vantaggi dello strato carburato dopo la tempra?

1. Coefficiente di diffusione

D=D0exp⁡ ⁣(−QRT)D = D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{RT}\right) con Q=148 000Q = 148\,000 J/mol.

TT (K) Q/RTQ/RT DD (m2^2/s)
11731173 15,17515{,}175 5,91⋅10−125{,}91\cdot10^{-12}
12231223 14,55514{,}555 1,10⋅10−111{,}10\cdot10^{-11}
12731273 13,98413{,}984 1,95⋅10−111{,}95\cdot10^{-11}

Esempio a 12231223 K: RT=8,3145⋅1223=10 168RT = 8{,}3145\cdot1223 = 10\,168 J/mol; Q/RT=14,555Q/RT = 14{,}555; e−14,555=4,78⋅10−7e^{-14{,}555} = 4{,}78\cdot10^{-7}; D=2,3⋅10−5⋅4,78⋅10−7=1,10⋅10−11D = 2{,}3\cdot10^{-5}\cdot4{,}78\cdot10^{-7} = 1{,}10\cdot10^{-11} m2^2/s. Ogni 5050 K il coefficiente quasi raddoppia.

2. Tempo a 12231223 K

Membro sinistro: 1,00−0,451,00−0,15=0,550,85=0,6471\dfrac{1{,}00 - 0{,}45}{1{,}00 - 0{,}15} = \dfrac{0{,}55}{0{,}85} = 0{,}6471. Si cerca zz con erf⁡(z)=0,6471\operatorname{erf}(z) = 0{,}6471 (dalle tabelle: erf⁡(0,65)=0,6420\operatorname{erf}(0{,}65) = 0{,}6420, erf⁡(0,70)=0,6778\operatorname{erf}(0{,}70) = 0{,}6778; interpolando z=0,65+0,05⋅0,6471−0,64200,6778−0,6420=0,657z = 0{,}65 + 0{,}05\cdot\frac{0{,}6471 - 0{,}6420}{0{,}6778 - 0{,}6420} = 0{,}657). Quindi x2Dt=0,657  ⇒  Dt=0,50⋅10−32⋅0,657=3,80⋅10−4 m,Dt=1,449⋅10−7 m2\frac{x}{2\sqrt{Dt}} = 0{,}657 \;\Rightarrow\; \sqrt{Dt} = \frac{0{,}50\cdot10^{-3}}{2\cdot0{,}657} = 3{,}80\cdot10^{-4}\ \text{m}, \qquad Dt = 1{,}449\cdot10^{-7}\ \text{m}^2 t=DtD=1,449⋅10−71,10⋅10−11=1,32⋅104 s=3,7 ht = \frac{Dt}{D} = \frac{1{,}449\cdot10^{-7}}{1{,}10\cdot10^{-11}} = 1{,}32\cdot10^{4}\ \text{s} = \mathbf{3{,}7\ h}

3. Tempo dimezzato

DtDt è fissato dalla profondità e dalla composizione, quindi t∝1/Dt\propto1/D: per dimezzare tt serve D′=2D=2,20⋅10−11D' = 2D = 2{,}20\cdot10^{-11} m2^2/s. Da D′=D0e−Q/RT′D' = D_0e^{-Q/RT'}: T′=−QRln⁡(D′/D0)=−148 0008,3145⋅ln⁡(2,20⋅10−11/2,3⋅10−5)=−148 0008,3145⋅(−13,86)T' = \frac{-Q}{R\ln(D'/D_0)} = \frac{-148\,000}{8{,}3145\cdot\ln(2{,}20\cdot10^{-11}/2{,}3\cdot10^{-5})} = \frac{-148\,000}{8{,}3145\cdot(-13{,}86)} (il logaritmo è ln⁡(9,56⋅10−7)=−13,86\ln(9{,}56\cdot10^{-7}) = -13{,}86), da cui T′=1284T' = 1284 K =\mathbf{1011\,^\circ C}. Bastano 6161 K in più. Un aumento maggiore danneggerebbe l'acciaio (grano grosso).

4. Profilo dopo 44 h

Dt=1,098⋅10−11⋅14 400=3,98⋅10−4\sqrt{Dt} = \sqrt{1{,}098\cdot10^{-11}\cdot14\,400} = 3{,}98\cdot10^{-4} m. Per ogni profondità Cx=Cs−(Cs−C0)erf⁡ ⁣(x2Dt)C_x = C_s - (C_s - C_0)\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right):

xx (mm) x/2Dtx/2\sqrt{Dt} erf⁡\operatorname{erf} CxC_x (% C)
0,20{,}2 0,2510{,}251 0,2770{,}277 0,760{,}76
0,50{,}5 0,6290{,}629 0,6260{,}626 0,470{,}47
1,01{,}0 1,2571{,}257 0,9250{,}925 0,210{,}21

Il carbonio scende gradualmente dalla superficie, con una profondità efficace di circa 0,50{,}5 mm (dove il tenore passa da 1,0%1{,}0\% a circa 0,45%0{,}45\%).

5. Energia di attivazione

Dal rapporto di due valori di DD (la costante D0D_0 si elimina): Q=R ln⁡(D2/D1)1T1−1T2=8,3145⋅ln⁡(2,60⋅10−11/2,16⋅10−12)11100−11300=8,3145⋅2,4881,3986⋅10−4=1,48⋅105 J/molQ = R\,\frac{\ln(D_2/D_1)}{\frac1{T_1} - \frac1{T_2}} = 8{,}3145\cdot\frac{\ln(2{,}60\cdot10^{-11}/2{,}16\cdot10^{-12})}{\frac1{1100} - \frac1{1300}} = 8{,}3145\cdot\frac{2{,}488}{1{,}3986\cdot10^{-4}} = 1{,}48\cdot10^{5}\ \text{J/mol} cioè 148 kJ/mol\mathbf{148\ kJ/mol} ✓ (è la pendenza di ln⁡D\ln D in funzione di 1/T1/T).

6. Domanda teorica

Il carbonio si scioglie nel ferro γ\gamma (FCC) fino al 2,14%2{,}14\%, ma solo allo 0,022%0{,}022\% nella ferrite (BCC) (Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte →): senza austenite non entra abbastanza carbonio. Inoltre DD cresce con la temperatura. Dopo la tempra lo strato esterno ricco di C diventa martensite: duro e resistente all'usura e alla fatica, mentre il cuore a basso tenore di C resta tenace. L'ingranaggio ha così una superficie dura e un cuore capace di assorbire gli urti.

Risultati

grandezza valore
DD a 11731173, 12231223, 12731273 K 5,91⋅10−125{,}91\cdot10^{-12}; 1,10⋅10−111{,}10\cdot10^{-11}; 1,95⋅10−111{,}95\cdot10^{-11} m2^2/s
tempo a 12231223 K per 0,45%0{,}45\% a 0,500{,}50 mm 3,73{,}7 h
temperatura per dimezzare il tempo 12841284 K (1011\,^\circC)
profilo dopo 44 h 0,760{,}76; 0,470{,}47; 0,21%0{,}21\% a 0,20{,}2; 0,50{,}5; 1,01{,}0 mm
QQ 148148 kJ/mol

Errori comuni

  • Usare i gradi Celsius nell'esponenziale.
  • Inserire QQ in kJ/mol con RR in J/(mol K): serve J/mol.
  • Dimenticare che x∝tx\propto\sqrt{t}: raddoppiare la profondità richiede quattro volte il tempo.
  • Invertire male l'erf: serve erf⁡(z)\operatorname{erf}(z) uguale al rapporto (Cs−Cx)/(Cs−C0)(C_s - C_x)/(C_s - C_0).

Versione ripasso

Testo. Acciaio con C0=0,15%C_0 = 0{,}15\%, Cs=1,00%C_s = 1{,}00\%; D0=2,3⋅10−5D_0 = 2{,}3\cdot10^{-5} m2^2/s, Q=148Q = 148 kJ/mol. DD a 11731173, 12231223, 12731273 K; tempo a 12231223 K per 0,45%0{,}45\% a 0,500{,}50 mm; temperatura per dimezzarlo; profilo dopo 44 h; QQ da D(1100 K)=2,16⋅10−12D(1100\ \text{K}) = 2{,}16\cdot10^{-12} e D(1300 K)=2,60⋅10−11D(1300\ \text{K}) = 2{,}60\cdot10^{-11}; perché si carbura nell'austenite.

Soluzione (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →)

  • D=D0e−Q/RTD = D_0e^{-Q/RT}: 5,91⋅10−125{,}91\cdot10^{-12}, 1,10⋅10−111{,}10\cdot10^{-11}, 1,95⋅10−111{,}95\cdot10^{-11} m2^2/s (a 12231223 K Q/RT=14,555Q/RT = 14{,}555).
  • (1,00−0,45)/(1,00−0,15)=0,6471⇒z=0,657(1{,}00 - 0{,}45)/(1{,}00 - 0{,}15) = 0{,}6471 \Rightarrow z = 0{,}657; Dt=0,50⋅10−3/(2⋅0,657)=3,80⋅10−4\sqrt{Dt} = 0{,}50\cdot10^{-3}/(2\cdot0{,}657) = 3{,}80\cdot10^{-4} m, Dt=1,449⋅10−7Dt = 1{,}449\cdot10^{-7} m2^2, t=Dt/D=3,7t = Dt/D = 3{,}7 h.
  • t∝1/Dt\propto1/D: serve D′=2DD' = 2D, T′=−Q/(Rln⁡(D′/D0))=1284T' = -Q/(R\ln(D'/D_0)) = 1284 K = 1011\,^\circC.
  • Dopo 44 h Dt=3,98⋅10−4\sqrt{Dt} = 3{,}98\cdot10^{-4} m: C=0,76C = 0{,}76; 0,470{,}47; 0,21%0{,}21\% a 0,20{,}2; 0,50{,}5; 1,01{,}0 mm.
  • Q=Rln⁡(D2/D1)/(1/T1−1/T2)=148Q = R\ln(D_2/D_1)/(1/T_1 - 1/T_2) = 148 kJ/mol.
  • L'austenite scioglie fino al 2,14%2{,}14\% di C (la ferrite 0,022%0{,}022\%); dopo la tempra la superficie è martensite dura e il cuore resta tenace.

Errori tipici: ∘^\circC nell'esponenziale; QQ in kJ con RR in J; profondità ∝t\propto\sqrt t dimenticata.

Teoria collegata