Esercizio - mole, atomi e molecole in un cubo di alluminio e in un bicchiere d'acqua

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1. Il cubo di alluminio

Volume e massa. Il volume del cubo è $V = l^3 = (2{,}00\ \text{cm})^3 = 8{,}00\ \text{cm}^3$. La massa si ottiene con la densità: $m = \rho V = 2{,}70\ \text{g/cm}^3\cdot 8{,}00\ \text{cm}^3 = 21{,}6\ \text{g}$ (i $\text{cm}^3$ si semplificano).

Moli. La massa molare dell'Al è $26{,}982\ \text{g/mol}$ (stesso numero della massa atomica in u):

$$n = \frac{m}{M} = \frac{21{,}6\ \text{g}}{26{,}982\ \text{g/mol}} = 0{,}8005\ \text{mol}$$

Atomi. Si moltiplica per il numero di Avogadro (un atomo per "unità" dell'elemento):

$$N = n\,N_A = 0{,}8005\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = \mathbf{4{,}82\cdot 10^{23}\ \text{atomi}}$$

Massa di un atomo.

$$m_{\text{atomo}} = \frac{M}{N_A} = \frac{26{,}982\cdot 10^{-3}\ \text{kg/mol}}{6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}} = \mathbf{4{,}48\cdot 10^{-26}\ \text{kg}}$$

(il $10^{-3}$ converte i g/mol in kg/mol per avere il risultato in kg). Come controllo, $26{,}982\ \text{u}\cdot 1{,}6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg/u} = 4{,}48\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ ✓.

Quanto sono vicini gli atomi? Una mole di Al occupa $26{,}982/2{,}70 = 9{,}99\ \text{cm}^3$, quindi ogni atomo dispone di $9{,}99/6{,}022\cdot 10^{23} = 1{,}66\cdot 10^{-23}\ \text{cm}^3$. La radice cubica è $2{,}55\cdot 10^{-8}\ \text{cm} = 0{,}255\ \text{nm}$: è l'ordine di grandezza della distanza fra atomi vicini in un solido (la distanza reale tra primi vicini in Al è $0{,}286\ \text{nm}$, la differenza viene dall'impacchettamento).

2. Il bicchiere d'acqua

$$n = \frac{250\ \text{g}}{18{,}015\ \text{g/mol}} = 13{,}88\ \text{mol}$$

$$N_{\text{molecole}} = 13{,}88\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = \mathbf{8{,}36\cdot 10^{24}}$$

Ogni molecola $\text{H}_2\text{O}$ ha $3$ atomi (2 di H e 1 di O):

$$N_{\text{atomi}} = 3\cdot 8{,}36\cdot 10^{24} = \mathbf{2{,}51\cdot 10^{25}}$$

Di cui $1{,}67\cdot 10^{25}$ di idrogeno e $8{,}36\cdot 10^{24}$ di ossigeno. Rispetto al cubo di alluminio: $2{,}51\cdot 10^{25}/4{,}82\cdot 10^{23} = 52$ volte più atomi, pur avendo una massa solo 11,6 volte maggiore ($250/21{,}6$): gli atomi dell'acqua (H, O) sono molto più leggeri di quelli dell'Al.

3. Una goccia

$$n = \frac{0{,}050}{18{,}015} = 2{,}78\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\qquad N = 2{,}78\cdot 10^{-3}\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = \mathbf{1{,}67\cdot 10^{21}\ \text{molecole}}$$

4. Domanda teorica

La mole è definita dal numero di particelle ($N_A$), non dalla massa. Ogni particella ha però una massa diversa: $4{,}48\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ per un atomo di Al, $2{,}99\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ per una molecola d'acqua. Moltiplicando per lo stesso $N_A$ si ottengono $26{,}98\ \text{g}$ e $18{,}02\ \text{g}$. Il rapporto fra le masse molari è il rapporto fra le masse delle singole particelle.

Risultati

Errori comuni

• Contare le molecole al posto degli atomi (o viceversa): per l'acqua gli atomi sono il triplo.
• Dimenticare di calcolare la massa con la densità: nel testo è data solo la geometria.
• Non convertire g/mol in kg/mol quando si chiede la massa in kg.