Esercizio - scorrimento di un monocristallo di rame, legge di Schmid e dislocazioni

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Teoria: Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano.

Testo. Un cilindro monocristallino di rame (FCC, $a = 0{,}3615$ nm) di diametro $5{,}0$ mm viene sollecitato a trazione lungo l'asse $[001]$ . Il sistema di scorrimento è $(111)[01\bar1]$ . La tensione tangenziale critica è $\tau_{crss} = 0{,}48$ MPa e il modulo di taglio $G = 48$ GPa.

Calcolare gli angoli $\varphi$ (tra l'asse di trazione e la normale al piano) e $\lambda$ (tra l'asse e la direzione di scorrimento) e il fattore di Schmid.
Calcolare la tensione di trazione e la forza a cui comincia lo scorrimento.
Calcolare il modulo del vettore di Burgers e l'energia per unità di lunghezza della dislocazione. Confrontare $\tau_{crss}$ con la tensione teorica $G/2\pi$ .
Se la densità di dislocazioni è $10^{11}\ \text{m}^{-2}$ , qual è la distanza media tra dislocazioni?
Domanda teorica: che cosa succede alla resistenza del cristallo se si deforma plasticamente a freddo e perché?

1. Angoli e fattore di Schmid

L'asse di trazione è $[001]$ . Il coseno dell'angolo tra due direzioni si ricava dal prodotto scalare diviso per i moduli.

$\varphi$ : la normale al piano $(111)$ è la direzione $[111]$ . $\cos\varphi = \frac{[001]\cdot[111]}{|[001]|\,|[111]|} = \frac{1}{1\cdot\sqrt3} = 0{,}5774 \;\Rightarrow\; \varphi = 54{,}7^\circ$

$\lambda$ : la direzione di scorrimento è $[01\bar1]$ , cioè il vettore $(0,1,-1)$ . $\cos\lambda = \frac{(0,0,1)\cdot(0,1,-1)}{1\cdot\sqrt2} = \frac{-1}{\sqrt2} \;\Rightarrow\; |\cos\lambda| = 0{,}7071,\quad\lambda = 45^\circ$

(il segno meno indica solo che il verso di scorrimento è opposto; conta il valore assoluto).

$m = \cos\varphi\cos\lambda = 0{,}5774\cdot0{,}7071 = \mathbf{0{,}408}$

Con l'asse $[001]$ tutti gli otto sistemi di scorrimento attivi hanno lo stesso fattore ( $0{,}408$ ): lo scorrimento parte su otto sistemi insieme, e il cristallo si deforma in modo simmetrico.

2. Tensione e forza di snervamento

$\sigma_y = \frac{\tau_{crss}}{\cos\varphi\cos\lambda} = \frac{0{,}48}{0{,}408} = \mathbf{1{,}18\ MPa}$

Sezione: $A = \pi r^2 = \pi\,(2{,}5\cdot10^{-3})^2 = 1{,}963\cdot10^{-5}$ m $^2$ . Forza: $F = \sigma_yA = 1{,}176\cdot10^{6}\cdot1{,}963\cdot10^{-5} = \mathbf{23{,}1\ N}$ Pochi newton: un monocristallo di rame puro si piega con la mano.

3. Vettore di Burgers ed energia

Nella FCC $\vec b = \frac a2\langle110\rangle$ , di modulo $b = \frac{a\sqrt2}{2} = \frac{0{,}3615\cdot1{,}4142}{2} = \mathbf{0{,}2556\ nm}$ (uguale a $2R$ , la distanza tra primi vicini). Energia per unità di lunghezza: $E_L\approx\frac12Gb^2 = \frac12\cdot48\cdot10^9\cdot(2{,}556\cdot10^{-10})^2 = \mathbf{1{,}57\cdot10^{-9}\ J/m}$ cioè, per un tratto lungo quanto $b$ , $1{,}57\cdot10^{-9}\cdot2{,}556\cdot10^{-10} = 4{,}0\cdot10^{-19}$ J $= 2{,}5$ eV.

Tensione teorica. $\tau_{teor}\approx\dfrac{G}{2\pi} = \dfrac{48\cdot10^9}{6{,}283} = 7{,}64\cdot10^9\ \text{Pa} = 7{,}6\ \text{GPa}$ . Rapporto con la tensione critica: $\dfrac{7{,}64\cdot10^9}{0{,}48\cdot10^6} = \mathbf{15\,900}$ . Il cristallo reale cede a una tensione quasi $16\,000$ volte inferiore, perché lo scorrimento avviene per movimento di dislocazioni.

4. Distanza tra dislocazioni

Con densità $\rho_d = 10^{11}$ m $^{-2}$ ogni dislocazione "occupa" un'area $1/\rho_d$ , e la distanza media è $\ell = \frac1{\sqrt{\rho_d}} = \frac1{\sqrt{10^{11}}} = 3{,}16\cdot10^{-6}\ \text{m} = \mathbf{3{,}2\ \mu m}$ cioè circa $12\,000$ distanze atomiche: sono poche e lontane, le dislocazioni si muovono liberamente e il cristallo è tenero.

5. Domanda teorica

La deformazione plastica moltiplica le dislocazioni (sorgenti come quella di Frank-Read): la densità passa da $10^{10}$ - $10^{12}$ m $^{-2}$ a $10^{14}$ - $10^{16}$ m $^{-2}$ . Con $10^{15}$ m $^{-2}$ la distanza scende a $\frac1{\sqrt{10^{15}}} = 32$ nm: le dislocazioni si intersecano, si bloccano a vicenda e per muoverle serve una tensione maggiore. Il cristallo diventa più duro e meno duttile: è l'incrudimento (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico). Con un trattamento termico di ricottura la densità torna bassa e il materiale si ammorbidisce.

Risultati

grandezza	valore
$\varphi$ , $\lambda$ , fattore di Schmid	$54{,}7^\circ$ , $45^\circ$ , $0{,}408$
$\sigma_y$ e forza	$1{,}18$ MPa, $23{,}1$ N
$b$ e energia di linea	$0{,}2556$ nm, $1{,}57\cdot10^{-9}$ J/m
$\tau_{teor}/\tau_{crss}$	$15\,900$
distanza tra dislocazioni	$3{,}2\ \mu$ m

Errori comuni

Usare $\sigma = \tau_{crss}$ senza il fattore di Schmid: la trazione e la tensione di taglio risolta non coincidono.
Prendere gli angoli sbagliati: $\varphi$ è con la normale al piano, non con il piano.
Confondere $b$ con $a$ : $b = a\sqrt2/2$ nella FCC.

Versione ripasso

Testo. Cilindro di rame di $5{,}0$ mm di diametro (FCC, $a = 0{,}3615$ nm), trazione lungo $[001]$ , sistema $(111)[01\bar1]$ , $\tau_{crss} = 0{,}48$ MPa, $G = 48$ GPa: fattore di Schmid, $\sigma_y$ e forza, $b$ ed energia, confronto con $G/2\pi$ , distanza tra dislocazioni a $10^{11}$ m $^{-2}$ , effetto della deformazione a freddo.

Soluzione (Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano)

$\cos\varphi = 1/\sqrt3 = 0{,}5774$ ( $54{,}7^\circ$ ), $|\cos\lambda| = 1/\sqrt2 = 0{,}7071$ ( $45^\circ$ ): $m = 0{,}408$ (uguale per gli otto sistemi attivi).
$\sigma_y = \tau_{crss}/m = 0{,}48/0{,}408 = 1{,}18$ MPa; $A = \pi(2{,}5\cdot10^{-3})^2 = 1{,}963\cdot10^{-5}$ m $^2$ , $F = 23{,}1$ N.
$b = a\sqrt2/2 = 0{,}2556$ nm; $E_L \approx \tfrac12Gb^2 = 1{,}57\cdot10^{-9}$ J/m ( $2{,}5$ eV per tratto $b$ ). $G/2\pi = 7{,}64$ GPa, $15\,900$ volte $\tau_{crss}$ .
$\ell = 1/\sqrt{\rho_d} = 3{,}2$ $\mu$ m ( $10^{11}$ m $^{-2}$ ); a $10^{15}$ m $^{-2}$ solo $32$ nm.
La deformazione a freddo moltiplica le dislocazioni (incrudimento): più resistenza, meno duttilità; la ricottura le riduce.

Errori tipici: $\sigma = \tau_{crss}$ senza il fattore di Schmid; $\varphi$ preso con il piano; $b$ confuso con $a$ .