Esercizio - composizione percentuale e contenuto di ferro in minerali

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Teoria: Stechiometria - reagente limitante, resa e composizione percentuale.

Testo. Masse molari: Fe $55{,}845$ , O $15{,}999$ , C $12{,}011$ , S $32{,}06$ g/mol.

Calcolare la composizione percentuale in massa di ematite $\text{Fe}_2\text{O}_3$ , magnetite $\text{Fe}_3\text{O}_4$ , siderite $\text{FeCO}_3$ e pirite $\text{FeS}_2$ .
Quale massa di ciascun minerale puro è necessaria per ottenere $1{,}00$ tonnellata di ferro, ammettendo una resa del $100\,\%$ ?
Un minerale grezzo contiene il $62{,}0\,\%$ in massa di magnetite (il resto è ganga senza ferro). Quale percentuale di ferro contiene e quanto minerale serve per $1{,}00\ \text{t}$ di ferro?
Un acciaio al carbonio ha $0{,}45\,\%$ in massa di C. Quanti atomi di C ci sono ogni 1000 atomi di Fe (si assuma l'acciaio fatto solo di Fe e C)?
Domanda teorica: perché la percentuale in massa di un elemento non è la stessa della percentuale in atomi (frazione molare)?

1. Composizione percentuale

La percentuale in massa di un elemento è $w = n_{\text{el}} M_{\text{el}}/M_{\text{composto}}\cdot 100$ .

minerale	$M$ (g/mol)	calcolo di $M$	$w_{\text{Fe}}$	altri elementi
$\text{Fe}_2\text{O}_3$	$159{,}687$	$2\cdot 55{,}845 + 3\cdot 15{,}999$	$\dfrac{111{,}690}{159{,}687} = \mathbf{69{,}94\,\%}$	O $30{,}06\,\%$
$\text{Fe}_3\text{O}_4$	$231{,}531$	$3\cdot 55{,}845 + 4\cdot 15{,}999$	$\dfrac{167{,}535}{231{,}531} = \mathbf{72{,}36\,\%}$	O $27{,}64\,\%$
$\text{FeCO}_3$	$115{,}853$	$55{,}845 + 12{,}011 + 3\cdot 15{,}999$	$\dfrac{55{,}845}{115{,}853} = \mathbf{48{,}20\,\%}$	C $10{,}37\,\%$ , O $41{,}43\,\%$
$\text{FeS}_2$	$119{,}965$	$55{,}845 + 2\cdot 32{,}06$	$\dfrac{55{,}845}{119{,}965} = \mathbf{46{,}55\,\%}$	S $53{,}45\,\%$

Controllo: le percentuali di ogni riga sommano a $100\,\%$ (siderite: $48{,}20 + 10{,}37 + 41{,}43 = 100{,}00$ ).

2. Minerale per 1 t di ferro

La massa di minerale puro è $m_{\text{min}} = m_{\text{Fe}}/w_{\text{Fe}}$ :

minerale	$1000\ \text{kg}/w_{\text{Fe}}$
$\text{Fe}_3\text{O}_4$	$1000/0{,}7236 = \mathbf{1382\ kg}$
$\text{Fe}_2\text{O}_3$	$1000/0{,}6994 = \mathbf{1430\ kg}$
$\text{FeCO}_3$	$1000/0{,}4820 = \mathbf{2075\ kg}$
$\text{FeS}_2$	$1000/0{,}4655 = \mathbf{2148\ kg}$

La magnetite è la più conveniente (più ricca); la pirite è anche difficile da trattare perché contiene zolfo (produce $\text{SO}_2$ ed è dannoso per l'acciaio).

3. Minerale grezzo

Il ferro è solo nella magnetite, che è il $62{,}0\,\%$ del minerale:

$w_{\text{Fe, grezzo}} = 0{,}620\cdot 0{,}7236 = \mathbf{44{,}9\,\%}$

Per $1{,}00\ \text{t}$ di Fe: $1000/0{,}4486 = \mathbf{2229\ kg}\approx 2{,}23\ \text{t}$ di minerale (di cui $1382$ kg di magnetite e il resto, circa $847$ kg, ganga).

4. Atomi di C in un acciaio

Su $100\ \text{g}$ di acciaio: $0{,}45\ \text{g}$ di C e $99{,}55\ \text{g}$ di Fe.

$n(\text{C}) = \frac{0{,}45}{12{,}011} = 0{,}03747\ \text{mol}\qquad n(\text{Fe}) = \frac{99{,}55}{55{,}845} = 1{,}7825\ \text{mol}$

$\frac{n(\text{C})}{n(\text{Fe})} = \frac{0{,}03747}{1{,}7825} = 0{,}02102\ \Rightarrow\ \mathbf{21\ atomi\ di\ C\ ogni\ 1000\ di\ Fe}$

Cioè circa il $2{,}1\,\%$ in atomi di C, contro lo $0{,}45\,\%$ in massa: gli atomi di C sono molto più leggeri di quelli di Fe, quindi pochi grammi di C corrispondono a molti atomi.

5. Domanda teorica

La percentuale in massa pesa ogni elemento per la massa dei suoi atomi; la percentuale in atomi (frazione molare) conta gli atomi alla pari. Un elemento leggero (C, H) ha una percentuale in massa bassa ma una percentuale in atomi alta. Esempio dell'acqua: H è l' $11{,}19\,\%$ in massa ( $2{,}016/18{,}015$ ) ma il $66{,}7\,\%$ degli atomi (2 su 3).

Risultati

$w_{\text{Fe}}$ : $\text{Fe}_2\text{O}_3$ $69{,}94\,\%$ ; $\text{Fe}_3\text{O}_4$ $72{,}36\,\%$ ; $\text{FeCO}_3$ $48{,}20\,\%$ ; $\text{FeS}_2$ $46{,}55\,\%$ . Minerale per 1 t di Fe: $1382$ , $1430$ , $2075$ , $2148\ \text{kg}$ . Minerale grezzo: $44{,}9\,\%$ di Fe, $2{,}23\ \text{t}$ per t di Fe. Acciaio: $21$ atomi di C ogni 1000 di Fe.

Errori comuni

Dimenticare l'indice dell'elemento nella formula (Fe ×2 in $\text{Fe}_2\text{O}_3$ ).
Usare il numero di atomi senza la massa molare (il rapporto 2:3 non è un rapporto di masse).
Confondere percentuale in massa e in atomi.
Trascurare la ganga quando si ha un minerale grezzo.

Versione ripasso

Testo. Composizione percentuale di $\text{Fe}_2\text{O}_3$ , $\text{Fe}_3\text{O}_4$ , $\text{FeCO}_3$ , $\text{FeS}_2$ ; minerale puro per $1{,}00\ \text{t}$ di Fe; minerale con $62{,}0\,\%$ di magnetite; atomi di C ogni 1000 di Fe in un acciaio con $0{,}45\,\%$ di C.

Soluzione

$w_{\text{Fe}} = n\,55{,}845/M$ : $\text{Fe}_2\text{O}_3$ ( $159{,}687$ ) $69{,}94\,\%$ ; $\text{Fe}_3\text{O}_4$ ( $231{,}531$ ) $72{,}36\,\%$ ; $\text{FeCO}_3$ ( $115{,}853$ ) $48{,}20\,\%$ ; $\text{FeS}_2$ ( $119{,}965$ ) $46{,}55\,\%$ .
$m = 1000/w$ : $1382$ , $1430$ , $2075$ , $2148\ \text{kg}$ .
$0{,}620\cdot0{,}7236 = 44{,}9\,\%$ di Fe; $1000/0{,}4486 = 2229\ \text{kg}$ di minerale.
In $100\ \text{g}$ : $0{,}45/12{,}011 = 0{,}03747\ \text{mol}$ di C e $99{,}55/55{,}845 = 1{,}7825\ \text{mol}$ di Fe: rapporto $0{,}0210$ , cioè $21$ atomi di C ogni 1000 di Fe.
Massa e numero di atomi differiscono per le masse atomiche (acqua: H $11{,}19\,\%$ in massa, $66{,}7\,\%$ in atomi).

Risultati: $w_{\text{Fe}}$ $69{,}94$ , $72{,}36$ , $48{,}20$ , $46{,}55\,\%$ ; $1382$ , $1430$ , $2075$ , $2148\ \text{kg}$ di minerale per t di Fe; grezzo con $62{,}0\,\%$ di magnetite $44{,}9\,\%$ di Fe ( $2229\ \text{kg}$ per t); acciaio $21$ atomi di C ogni 1000 di Fe.

Errori comuni: indice dimenticato; rapporti di atomi usati come rapporti di masse; ganga trascurata.

Teoria collegata

Stechiometria - reagente limitante, resa e composizione percentuale