Esercizio - tensione di vapore dell'acqua, pentola a pressione e quota

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1. Tensione di vapore

Si pone $T_1 = 373{,}15$ K, $P_1 = 1{,}00$ atm e si ricava $P_2$:

$$\ln\frac{P_2}{P_1} = \frac{\Delta H_{vap}}{R}\left(\frac1{T_1} - \frac1{T_2}\right), \qquad \frac{\Delta H_{vap}}{R} = \frac{40\,700}{8{,}314} = 4895{,}3\ \text{K}$$

A 70\,^\circC ($T_2 = 343{,}15$ K): $$\frac1{373{,}15} - \frac1{343{,}15} = 0{,}0026799 - 0{,}0029141 = -2{,}342\cdot10^{-4}\ \text{K}^{-1}$$ $$\ln P_2 = 4895{,}3\cdot(-2{,}342\cdot10^{-4}) = -1{,}1465 \;\Rightarrow\; P_2 = e^{-1{,}1465} = \mathbf{0{,}318\ atm}$$ (circa $32$ kPa).

A 40\,^\circC ($T_2 = 313{,}15$ K): la differenza $\frac1{373{,}15} - \frac1{313{,}15} = -5{,}134\cdot10^{-4}$, $\ln P_2 = -2{,}513$ e $P_2 = \mathbf{0{,}081\ atm}$ (circa $8{,}2$ kPa; il valore sperimentale è $7{,}4$ kPa: lontano da 100\,^\circC l'approssimazione di $\Delta H_{vap}$ costante pesa di più).

2. Cavitazione

Il liquido a 70\,^\circC comincia a bollire (forma bolle di vapore) dove la pressione scende sotto la sua tensione di vapore: $P = 0{,}318$ atm $\approx 32$ kPa assoluti. L'ingresso della pompa non deve mai scendere sotto questo valore: la pressione disponibile (battente del serbatoio più pressione atmosferica meno perdite di carico) deve restare sopra, con un margine.

3. Pentola a pressione

L'acqua bolle quando $P_v = 2{,}00$ atm. Si risolve per $T_2$ con $P_1 = 1{,}00$ atm:

$$\frac1{T_2} = \frac1{T_1} - \frac{R}{\Delta H_{vap}}\ln\frac{P_2}{P_1} = 0{,}0026799 - \frac{\ln2}{4895{,}3} = 0{,}0026799 - 0{,}0001416 = 0{,}0025383$$

T_2 = 393{,}97\ \text{K} = \mathbf{120{,}8\,^\circ C}

Cuocere a 121\,^\circC invece che a 100\,^\circC accorcia molto i tempi, perché la velocità delle reazioni di cottura cresce con la temperatura (Cinetica chimica - velocità, ordine di reazione, Arrhenius e catalisiLa velocità di reazione è la variazione di concentrazione nel tempo, v = −(1/a) d[A]/dt. La legge cinetica v = k[A]^m[B]^n ha ordini m, n determinati sperimentalmente (metodo delle velocità iniziali). Leggi integrate: ordine 0 [A] = [A]0 − kt; ordine 1 ln[A] = ln[A]0 − kt con t_1/2 = ln2/k; ordine 2 1/[A] = 1/[A]0 + kt con t_1/2 = 1/(k[A]0). La costante dipende da T come k = A exp(−Ea/RT) (Arrhenius): ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2). Un catalizzatore abbassa Ea e accelera la reazione (diretta e inversa) senza cambiare ΔH, ΔG né K. Il meccanismo è la sequenza di stadi elementari; lo stadio lento fissa la legge cinetica.Cinetica chimica - velocità, ordine di reazione, Arrhenius e catalisi →).

4. Montagna

Con $P_2 = 0{,}61$ atm: $\ln0{,}61 = -0{,}4943$, quindi \frac1{T_2} = 0{,}0026799 + \frac{0{,}4943}{4895{,}3} = 0{,}0026799 + 0{,}0001010 = 0{,}0027809 \;\Rightarrow\; T_2 = 359{,}6\ \text{K} = \mathbf{86{,}5\,^\circ C}

A circa $4000$ m l'acqua bolle intorno a 86\,^\circC: la pasta richiede più tempo.

5. Domanda teorica

Quando la tensione di vapore (pressione che il vapore avrebbe all'equilibrio) eguaglia la pressione esterna, il vapore si può formare in tutto il volume del liquido sotto forma di bolle, che reggono la pressione circostante: è l'ebollizione. Sotto quel valore l'evaporazione avviene solo in superficie. Nella cavitazione la pressione locale (per esempio sul lato di aspirazione delle pale) scende sotto $P_v$ e si formano bolle di vapore; quando arrivano in zone a pressione maggiore collassano violentemente e producono microgetti che erodono le pale e causano rumore, vibrazioni e perdita di rendimento.

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Risultati

Errori comuni

• Usare i gradi Celsius nel termine $1/T$.
• Scambiare $P_1$ e $P_2$ nel logaritmo: la tensione di vapore a $T$ minore deve risultare minore.
• Usare $\Delta H_{vap}$ in kJ con $R$ in J: servono le stesse unità.