Esercizio - gas reale CO2 con van der Waals e velocità delle molecole

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1. Le due pressioni

Gas ideale. $$P_{id} = \frac{nRT}{V} = \frac{2{,}00\cdot 0{,}08206\cdot 320}{1{,}50} = \frac{52{,}52}{1{,}50} = \mathbf{35{,}0\ atm}$$

Van der Waals. Si scrive la pressione come $P = \dfrac{nRT}{V - nb} - \dfrac{a n^2}{V^2}$ e si calcolano i due termini.

• Volume libero: $V - nb = 1{,}50 - 2{,}00\cdot 0{,}04267 = 1{,}50 - 0{,}08534 = 1{,}41466$ L. Termine di volume proprio: $\dfrac{52{,}52}{1{,}41466} = 37{,}12$ atm (maggiore dell'ideale: le molecole hanno meno spazio).
• Correzione per le attrazioni: $\dfrac{a n^2}{V^2} = \dfrac{3{,}592\cdot 4{,}00}{2{,}25} = 6{,}386$ atm.

$$P_{vdW} = 37{,}12 - 6{,}39 = \mathbf{30{,}7\ atm}$$

2. Fattore di compressibilità

$$Z = \frac{PV}{nRT} = \frac{30{,}74\cdot 1{,}50}{52{,}52} = \mathbf{0{,}878}$$

$Z<1$: la pressione reale è circa il $12\%$ più bassa di quella ideale. A questa densità ($n/V = 1{,}33$ mol/L, cioè $\approx 59$ g/L) per il CO$_2$ a $320$ K, prevalgono le forze attrattive sul volume proprio delle molecole.

3. Velocità quadratica media

$$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$ con $R = 8{,}314$ J/(mol K) e $M$ in kg/mol:

$$v_{CO_2} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}314\cdot 320}{0{,}04401}} = \sqrt{181\,350} = \mathbf{425{,}9\ m/s}$$

$$v_{N_2} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}314\cdot 320}{0{,}028014}} = \mathbf{533{,}8\ m/s}$$

Il rapporto $v_{N_2}/v_{CO_2} = \sqrt{44{,}01/28{,}014} = 1{,}253$: è la legge di Graham, e l'azoto effonde il $25\%$ più in fretta. Le due specie hanno la stessa energia cinetica media, $\tfrac32 RT = 3991$ J/mol, ma l'azoto è più leggero e va più veloce.

4. Domanda teorica

• $nb$ è il volume complessivo occupato dalle molecole (circa il volume di una mole di molecole, per $b$): sottraendolo da $V$ si ottiene il volume davvero disponibile al moto. Tende a aumentare $P$.
• $a n^2/V^2$ è la riduzione di pressione dovuta alle forze attrattive tra le molecole: ogni molecola vicina alla parete è tirata verso l'interno e colpisce con meno forza. È proporzionale al quadrato della densità perché conta le coppie di molecole vicine. Tende a diminuire $P$.
• Il comportamento ideale è una buona approssimazione a pressione bassa (molte decine di volte il volume proprio) e a temperatura lontana dalla liquefazione, quando le molecole sono rade e veloci.

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Risultati

Errori comuni

• Sottrarre invece di sommare il termine $an^2/V^2$ nella forma $(P + a n^2/V^2)$: nella forma esplicita in $P$ il segno è meno.
• Dimenticare $n$ nel termine $nb$: il volume escluso è proporzionale alla quantità di gas.
• $M$ in g/mol in $v_{rms}$.