Esercizio - difetto di massa ed energia di legame di elio-4 e ferro-56

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1. Elio-4

L'elio ha $Z = 2$ protoni e $N = 4 - 2 = 2$ neutroni. Poiché si usano le masse atomiche, i due protoni vengono presi insieme ai due elettroni come due atomi $^1$H (gli elettroni si compensano con quelli dell'atomo di elio):

$$\Delta m = 2\,m(^1\text{H}) + 2\,m_n - m(^4\text{He}) = 2{,}015650 + 2{,}017330 - 4{,}002603 = 0{,}030377\ \text{u}$$

L'energia equivalente, con $E = \Delta m\,c^2$:

$$E_L = 0{,}030377\cdot 931{,}494 = \mathbf{28{,}30\ MeV}\qquad \frac{E_L}{A} = \frac{28{,}30}{4} = \mathbf{7{,}07\ MeV\ \text{per nucleone}}$$

In unità di chimica: per una mole di nuclei il difetto di massa è $0{,}030377\ \text{g} = 3{,}0377\cdot 10^{-5}\ \text{kg}$ e

$$E = 3{,}0377\cdot 10^{-5}\cdot(2{,}998\cdot 10^8)^2 = 2{,}73\cdot 10^{12}\ \text{J/mol} = 2{,}73\cdot 10^{9}\ \text{kJ/mol}$$

contro i $10^2$–$10^3\ \text{kJ/mol}$ di un legame chimico.

2. Ferro-56

$Z = 26$, $N = 30$:

$$\Delta m = 26\cdot 1{,}007825 + 30\cdot 1{,}008665 - 55{,}934936 = 26{,}203450 + 30{,}259950 - 55{,}934936 = 0{,}528464\ \text{u}$$

$$E_L = 0{,}528464\cdot 931{,}494 = \mathbf{492{,}3\ MeV}\qquad \frac{E_L}{A} = \frac{492{,}3}{56} = \mathbf{8{,}79\ MeV\ \text{per nucleone}}$$

3. Fusione 4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}

La massa che sparisce è la differenza tra i reagenti e il prodotto (usando le masse atomiche si tiene conto anche dell'annichilazione dei due positroni emessi con due elettroni):

$$\Delta m = 4\cdot 1{,}007825 - 4{,}002603 = 0{,}028697\ \text{u}\quad\Rightarrow\quad E = 0{,}028697\cdot 931{,}494 = \mathbf{26{,}73\ MeV}$$

La frazione di massa convertita in energia è $0{,}028697/(4\cdot 1{,}007825) = 0{,}00712$, cioè $0{,}712\,\%$. Per $1\ \text{kg}$ di idrogeno:

$$E = 0{,}00712\cdot 1\ \text{kg}\cdot c^2 = 0{,}00712\cdot 8{,}988\cdot 10^{16} = \mathbf{6{,}40\cdot 10^{14}\ J}$$

La combustione di $1\ \text{kg}$ di $\text{H}_2$ dà $142\ \text{MJ} = 1{,}42\cdot 10^8\ \text{J}$: la fusione rende $6{,}40\cdot 10^{14}/1{,}42\cdot 10^{8} = 4{,}5\cdot 10^{6}$ volte di più.

4. Domanda teorica

L'energia di legame per nucleone cresce rapidamente fino a circa $A = 56$ (ferro, nichel) e poi cala lentamente. Più è alta, più il nucleo è stabile (per tirare via un nucleone serve più energia). Quindi:

• fusione di nuclei leggeri (H → He) porta verso nuclei più legati: energia liberata (Sole, stelle);
• fissione di nuclei molto pesanti (U, Pu) in frammenti di massa media, più legati: energia liberata (reattori);
• oltre il ferro la fusione non conviene più, e prima non conviene la fissione.

Risultati

Fusione $4\,\text{H}\to\text{He}$: $26{,}73\ \text{MeV}$ per nucleo di He, $6{,}40\cdot 10^{14}\ \text{J}$ per kg di H, circa $4{,}5$ milioni di volte la combustione.

Errori comuni

• Usare la massa dell'atomo senza contare gli elettroni nei reagenti: se per i protoni si usa la massa nucleare ($1{,}007276$) e per l'elio la massa atomica, il risultato è sbagliato di $2\cdot 0{,}000549\ \text{u}$ (circa $1\ \text{MeV}$).
• Confondere energia totale e per nucleone: il ferro ha un'energia totale grande perché ha molti nucleoni; il confronto di stabilità si fa per nucleone.
• Convertire male le unità: $1\ \text{u}$ corrisponde a $931{,}494\ \text{MeV}$, mentre $1\ \text{g}$ corrisponde a $8{,}988\cdot 10^{13}\ \text{J}$.