Difetti cristallini - vacanze, dislocazioni e bordi di grano

Un cristallo perfetto non esiste. In ogni pezzo metallico ci sono atomi mancanti, atomi estranei, piani incompleti e superfici interne, e sono i difetti, non il reticolo ideale, a determinare molte proprietà: la resistenza meccanica, la duttilità, la velocità di diffusione e la risposta ai trattamenti termici. Un cristallo ideale di ferro, senza dislocazioni, avrebbe una resistenza di centinaia di volte superiore a quella di un acciaio comune, ma sarebbe fragile; l'acciaio di un albero motore è resistente e duttile perché contiene difetti in quantità controllata. Prima: Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte →. Poi: Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →. Esercizi: Esercizio - vacanze nel rame e dipendenza dalla temperatura, Esercizio - soluzioni solide, ottone e regole di Hume-Rothery, Esercizio - scorrimento di un monocristallo di rame, legge di Schmid e dislocazioni, Esercizio - dimensione del grano ASTM e legge di Hall-Petch.

I difetti si classificano per dimensione:

Difetti puntuali

Vacanze e atomi interstiziali

• Vacanza: posizione del reticolo non occupata da un atomo. È l'unico difetto che esiste anche all'equilibrio: per l'entropia (Entropia, energia libera di Gibbs e spontaneitàUn processo spontaneo aumenta l'entropia dell'universo, ΔS_univ = ΔS_sist − ΔH_sist/T > 0. L'entropia misura il numero di modi di realizzare lo stato, S = k ln W, e si calcola da trasformazioni reversibili: fusione ΔS = ΔH/T, riscaldamento ΔS = m c ln(T2/T1), espansione isoterma di un gas nR ln(V2/V1), reazione ΔS° = ΣS°(p) − ΣS°(r). A T e P costanti il criterio è l'energia libera di Gibbs G = H − TS: ΔG = ΔH − TΔS < 0 per un processo spontaneo, con T di inversione T* = ΔH/ΔS; ΔG° = −RT ln K lega la spontaneità alla costante di equilibrio, e |ΔG| è il lavoro utile massimo (cella a combustibile: ΔG/ΔH = 0,83 per H2).Entropia, energia libera di Gibbs e spontaneità →) conviene sempre avere qualche vacanza. Rompere i legami di un atomo costa un'energia $Q_v$ (energia di formazione della vacanza), ma il disordine che si crea riduce l'energia libera.
• Interstiziale proprio (self-interstitial): un atomo della matrice che si inserisce in un sito interstiziale. Distorce molto il reticolo ed è quindi raro nei metalli.
• Impurezza interstiziale: atomo piccolo (C, N, H, O) in un sito interstiziale (Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte →).
• Impurezza sostituzionale: atomo estraneo al posto di uno della matrice.

Quante vacanze ci sono. A temperatura $T$ la frazione di siti vuoti vale

Concentrazione di vacanze all'equilibrio. $$\frac{n_v}{N} = \exp\!\left(-\frac{Q_v}{kT}\right) = \exp\!\left(-\frac{Q_v}{RT}\right)$$ con $k = 8{,}617\cdot10^{-5}$ eV/K ($Q_v$ in eV per atomo) oppure $R = 8{,}314$ J/(mol K) ($Q_v$ in J/mol), e $T$ in kelvin.

L'andamento è quello di Arrhenius, lo stesso della cinetica chimica (Cinetica chimica - velocità, ordine di reazione, Arrhenius e catalisiLa velocità di reazione è la variazione di concentrazione nel tempo, v = −(1/a) d[A]/dt. La legge cinetica v = k[A]^m[B]^n ha ordini m, n determinati sperimentalmente (metodo delle velocità iniziali). Leggi integrate: ordine 0 [A] = [A]0 − kt; ordine 1 ln[A] = ln[A]0 − kt con t_1/2 = ln2/k; ordine 2 1/[A] = 1/[A]0 + kt con t_1/2 = 1/(k[A]0). La costante dipende da T come k = A exp(−Ea/RT) (Arrhenius): ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2). Un catalizzatore abbassa Ea e accelera la reazione (diretta e inversa) senza cambiare ΔH, ΔG né K. Il meccanismo è la sequenza di stadi elementari; lo stadio lento fissa la legge cinetica.Cinetica chimica - velocità, ordine di reazione, Arrhenius e catalisi →): la frazione cresce in modo esponenziale con $T$.

Esempio (rame). $Q_v = 0{,}9$ eV/atomo. A T = 1000\,^\circC $= 1273$ K: $$\frac{n_v}{N} = \exp\!\left(-\frac{0{,}9}{8{,}617\cdot10^{-5}\cdot1273}\right) = e^{-8{,}205} = 2{,}7\cdot10^{-4}$$ Il rame ha $N = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{8{,}96\cdot6{,}022\cdot10^{23}}{63{,}546} = 8{,}49\cdot10^{22}$ atomi/cm$^3$ $= 8{,}49\cdot10^{28}$ atomi/m$^3$, quindi $n_v = 2{,}3\cdot10^{25}$ vacanze/m$^3$: circa una ogni $3650$ atomi. A $300$ K (con lo stesso $Q_v$) è $e^{-34{,}8} = 7{,}6\cdot10^{-16}$: una vacanza ogni $10^{15}$ atomi, cioè pressoché nessuna. Le vacanze che si trovano a temperatura ambiente sono quelle "congelate" da un raffreddamento rapido (tempra).

Le vacanze permettono agli atomi di spostarsi nel reticolo: la diffusione allo stato solido (per esempio del carbonio nell'acciaio durante la carburazione) è tanto più rapida quanto più alta è la temperatura, ed è un processo attivato come la formazione delle vacanze (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →).

Nei cristalli ionici i difetti puntuali devono conservare la neutralità elettrica: il difetto di Schottky è una coppia di vacanze (una di catione e una di anione), il difetto di Frenkel è un catione che lascia il suo sito e va in un interstizio, lasciando una vacanza. Sono la via della conduzione ionica.

Soluzioni solide

Una soluzione solida si forma quando atomi di un secondo elemento (soluto) entrano nel reticolo del solvente senza cambiarne la struttura: è la fase solida analoga alla soluzione liquida (Stato liquido e soluzioni - concentrazioni e proprietà colligativeUn liquido ha volume proprio ma forma del recipiente; tra liquido e vapore c'è l'equilibrio descritto dalla tensione di vapore, che sale con T secondo Clausius-Clapeyron, e il liquido bolle quando eguaglia la pressione esterna. Le concentrazioni sono molarità M = n/V, molalità m = n/kg di solvente, frazione molare e percentuale in massa. Un soluto non volatile abbassa la tensione di vapore (Raoult) e produce ΔT_eb = K_eb m i, ΔT_cr = K_cr m i e pressione osmotica Π = i M R T: proprietà colligative, che dipendono solo dal numero di particelle.Stato liquido e soluzioni - concentrazioni e proprietà colligative →). Sono sostituzionali (ottone Cu-Zn, bronzo Cu-Sn, la lega Cu-Ni) o interstiziali (carbonio nel ferro).

Regole di Hume-Rothery per un'ampia solubilità sostituzionale:

1. i raggi atomici differiscono per meno di circa il $15\%$;
2. stessa struttura cristallina;
3. elettronegatività simili (altrimenti si forma un composto);
4. stessa valenza, o il soluto ha valenza maggiore del solvente.

Gli atomi interstiziali devono invece essere molto piccoli rispetto agli atomi della matrice (rapporto dei raggi minore di circa $0{,}59$).

Esempi. Il rame ($r = 0{,}128$ nm, FCC) e il nichel ($0{,}125$ nm, FCC): differenza $-2{,}3\%$, stessa struttura: solubilità completa (le leghe Cu-Ni sono resistenti alla corrosione marina). Il rame e lo zinco ($0{,}133$ nm, HCP): differenza $+3{,}9\%$, ma strutture diverse: la solubilità è limitata, fino al $35\%$ in massa di Zn nell'ottone $\alpha$. Il rame e il piombo ($0{,}175$ nm): differenza $+36{,}7\%$, praticamente insolubili.

Composizione. Conversione tra percentuale in massa e atomica: $$x_1 = \frac{m_1/M_1}{m_1/M_1 + m_2/M_2}$$ Esempio. Ottone $70$ Cu - $30$ Zn in massa: $n_{Cu} = \frac{70}{63{,}546} = 1{,}1015$ mol, $n_{Zn} = \frac{30}{65{,}38} = 0{,}4588$ mol, quindi $x_{Zn} = \frac{0{,}4588}{1{,}5603} = 0{,}294$ ($29{,}4$ at%).

Effetto sulle proprietà. Gli atomi di soluto, di dimensione diversa, distorcono il reticolo e ostacolano il moto delle dislocazioni (si vedono sotto): la lega è più resistente e più dura del metallo puro (rafforzamento per soluzione solida), ma meno duttile e meno conduttrice.

Difetti di linea: le dislocazioni

Una dislocazione è un difetto lineare: una linea lungo la quale il reticolo è sfalsato. È il difetto più importante per la meccanica, perché la deformazione plastica dei metalli avviene per movimento di dislocazioni.

Dislocazione a spigolo

È l'equivalente di un semipiano atomico aggiunto nel cristallo: il bordo inferiore del semipiano è la linea di dislocazione. Attorno alla linea il reticolo è compresso (dalla parte del semipiano) e teso (dall'altra). Il suo parametro è il vettore di Burgers $\vec b$, che si trova percorrendo un circuito chiuso di passi atomici attorno alla linea in un cristallo perfetto (si chiude) e nello stesso circuito nel cristallo con la dislocazione (non si chiude): il vettore che manca per chiuderlo è $\vec b$. Nella dislocazione a spigolo $\vec b$ è perpendicolare alla linea.

Dislocazione a vite

Un taglio parziale del cristallo con scorrimento di un passo reticolare parallelo al bordo del taglio: i piani atomici si dispongono "a elica" (come una scala a chiocciola) attorno alla linea. Qui $\vec b$ è parallelo alla linea.

Dislocazione mista

Nei cristalli reali le dislocazioni curve hanno tratti in parte a spigolo e in parte a vite; il vettore di Burgers è costante lungo tutta la linea.

Modulo di $\vec b$. È un passo reticolare lungo la direzione compatta. Nella FCC $\vec b = \frac a2\langle110\rangle$, di modulo $b = \frac{a\sqrt2}{2} = 2R$ (per il rame $0{,}2556$ nm); nella BCC $\vec b = \frac a2\langle111\rangle$, $b = \frac{a\sqrt3}{2}$ (ferro: $0{,}2482$ nm).

Densità di dislocazioni $\rho_d$: lunghezza totale di linea per unità di volume, in m/m$^3$ $=$ m$^{-2}$ (equivale al numero di dislocazioni che attraversano $1$ m$^2$). Un metallo ben ricotto ha $10^{10}$-$10^{12}$ m$^{-2}$ (distanza media tra dislocazioni $\approx1/\sqrt{\rho_d} = 1$-$10$ $\mu$m), un metallo molto deformato a freddo $10^{14}$-$10^{16}$ m$^{-2}$ (distanza di $10$-$100$ nm). Un cristallo senza dislocazioni (whisker) si ottiene solo in fili sottilissimi.

Energia. Attorno a una dislocazione il reticolo è deformato: l'energia per unità di lunghezza è circa $\frac12 Gb^2$. Per il rame ($G = 48$ GPa, $b = 0{,}2556$ nm): $\frac12\cdot48\cdot10^9\cdot(2{,}556\cdot10^{-10})^2 = 1{,}57\cdot10^{-9}$ J/m, cioè circa $2{,}5$ eV per ogni distanza atomica di linea. A differenza delle vacanze, le dislocazioni non sono difetti di equilibrio: costano troppa energia, e la loro densità dipende dalla storia del materiale (si riduce con la ricottura).

Perché le dislocazioni spiegano la plasticità

Se la deformazione plastica fosse lo scorrimento rigido di un piano atomico sull'altro, la tensione tangenziale necessaria sarebbe, in prima stima, $\tau_{teor}\approx G/(2\pi)$. Per il rame $\frac{48\cdot10^9}{2\pi} = 7{,}6$ GPa. Il valore sperimentale per un monocristallo di rame è $\tau_{crss}\approx0{,}48$ MPa, quasi $16\,000$ volte inferiore. La discrepanza si spiega con le dislocazioni: per spostare un semipiano atomico di un passo non si muovono tutti gli atomi del piano insieme, ma si sposta di poco una riga alla volta, come una piega che si fa scorrere su un tappeto per spostarlo. Lo sforzo richiesto è molto minore.

Scorrimento e sistemi di scorrimento

Il movimento della dislocazione per taglio è lo scorrimento (slip). Avviene sui piani e nelle direzioni di massima densità atomica, per le ragioni viste in Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatteUn solido cristallino ha atomi disposti in un reticolo periodico (cella elementare ripetuta nello spazio), un solido amorfo no (nessun ordine a lungo raggio, ammorbidimento graduale alla temperatura di transizione vetrosa). I metalli cristallizzano per lo più in tre strutture: cubica a corpo centrato BCC (2 atomi per cella, N.C. 8, impaccamento 0,68), cubica a facce centrate FCC (4 atomi, N.C. 12, 0,74) ed esagonale compatta HCP (N.C. 12, 0,74). La densità si calcola da ρ = nM/(V_c N_A). Indici di Miller individuano piani e direzioni; i piani compatti (111 nella FCC) sono quelli su cui avviene lo scorrimento plastico. Nelle strutture compatte restano siti interstiziali ottaedrici e tetraedrici dove entrano C, N, H.Stato solido - solidi cristallini e amorfi, reticoli e strutture compatte → (piani più distanziati, vettore di Burgers più corto). Piano più direzione formano un sistema di scorrimento:

Un maggior numero di sistemi significa che qualunque sia l'orientazione del cristallo rispetto al carico qualche sistema è ben orientato: i metalli FCC sono i più duttili e formabili. La HCP, con pochi sistemi, si deforma male a freddo e si lavora a caldo (magnesio, titanio).

Legge di Schmid

Il carico esterno è una trazione $\sigma$, ma lo scorrimento è guidato dalla tensione tangenziale sul piano di scorrimento, nella direzione di scorrimento. Detti $\varphi$ l'angolo tra l'asse di trazione e la normale al piano di scorrimento e $\lambda$ l'angolo tra l'asse di trazione e la direzione di scorrimento, la tensione tangenziale risolta è

Legge di Schmid. $$\tau_R = \sigma\cos\varphi\cos\lambda$$ Lo scorrimento comincia quando $\tau_R$ raggiunge il valore critico $\tau_{crss}$ (critical resolved shear stress, una proprietà del materiale), cioè a una tensione di snervamento $$\sigma_y = \frac{\tau_{crss}}{\cos\varphi\cos\lambda}$$

Il fattore $\cos\varphi\cos\lambda$ (fattore di Schmid) vale al massimo $0{,}5$, per $\varphi = \lambda = 45^\circ$; è $0$ se l'asse di carico è parallelo al piano o perpendicolare alla direzione. In un cristallo con più sistemi scorre per primo quello con il fattore di Schmid maggiore.

Esempio (rame). Un monocristallo di rame ha $\tau_{crss} = 0{,}48$ MPa. Per un sistema con $\varphi = 60^\circ$ e $\lambda = 35^\circ$: $\cos60^\circ\cos35^\circ = 0{,}5\cdot0{,}8192 = 0{,}4096$ e $\sigma_y = \frac{0{,}48}{0{,}4096} = 1{,}17$ MPa. Con il sistema meglio orientato ($45^\circ$, $45^\circ$) servirebbero soltanto $0{,}48/0{,}5 = 0{,}96$ MPa.

Come si rafforza un metallo

Poiché lo snervamento è il moto delle dislocazioni, per rendere più resistente un metallo bisogna ostacolare il moto delle dislocazioni. I meccanismi (approfonditi in Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →) sono:

• soluzione solida (atomi estranei, distorsione del reticolo);
• incrudimento: la deformazione plastica a freddo moltiplica le dislocazioni (la densità sale di 4-5 ordini di grandezza), che si intralciano a vicenda;
• riduzione della dimensione del grano (bordi di grano, si veda sotto);
• precipitati (particelle di una seconda fase, per esempio carburi o fasi indurenti nelle leghe di alluminio).

Difetti di superficie: i bordi di grano

Un pezzo metallico reale è policristallino: composto da grani, ciascuno un cristallo con propria orientazione. Il bordo di grano è la zona (spessa pochi atomi) che separa due grani di orientazione diversa. Gli atomi del bordo sono meno ordinati e meno coordinati: il bordo ha energia più alta del volume del grano.

• Il bordo di grano ostacola le dislocazioni: una dislocazione che scorre in un grano non può passare nel grano vicino senza cambiare piano e direzione, e si accumula al bordo.
• Per questo i materiali a grano fine sono più resistenti: vale la relazione di Hall-Petch

  Relazione di Hall-Petch. $$\sigma_y = \sigma_0 + \frac{k_y}{\sqrt d}$$ con $d$ diametro medio dei grani, $\sigma_0$ tensione di "attrito" del reticolo e $k_y$ una costante del materiale.

Per un acciaio dolce, valori tipici (dati dal testo) sono $\sigma_0 = 100$ MPa e $k_y = 0{,}60$ MPa$\sqrt{\text{m}}$.

Esempio. Con $d = 45$ $\mu$m $= 4{,}5\cdot10^{-5}$ m: $\sigma_y = 100 + \frac{0{,}60}{\sqrt{4{,}5\cdot10^{-5}}} = 100 + 89 = 189$ MPa. Con $d = 5$ $\mu$m: $100 + \frac{0{,}60}{\sqrt{5\cdot10^{-6}}} = 100 + 268 = 368$ MPa. Raffinare il grano da $45$ a $5$ $\mu$m raddoppia lo snervamento.

Dimensione del grano ASTM. Il numero $G$ si definisce con $N = 2^{G-1}$, dove $N$ è il numero di grani per pollice quadrato osservati in una micrografia a $100$ ingrandimenti. Più $G$ è alto, più il grano è fine: $G = 6$ corrisponde a $32$ grani in $1$ in$^2$ della micrografia, cioè a $\frac{10^{-4}\cdot645{,}16}{32} = 2{,}0\cdot10^{-3}$ mm$^2$ per grano e a un diametro equivalente $\approx 45$ $\mu$m. Il grano si ottiene e si controlla con la solidificazione, la deformazione a freddo e la ricottura (Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimicoOgni legame atomico è una molla (E ≈ k/r0): la profondità del pozzo di energia fissa temperatura di fusione, la curvatura il modulo di Young, l'asimmetria la dilatazione termica. La prova di trazione dà E, snervamento, resistenza, allungamento e strizione (σ = F/A0, ε = ΔL/L0). Si rafforza un metallo ostacolando le dislocazioni (grano fine, soluzione solida, incrudimento, precipitati); la ricottura (recupero, ricristallizzazione, crescita del grano) lo riammorbidisce. La diffusione J = −D dC/dx con D = D0 exp(−Q/RT) governa carburazione e trattamenti. Nel diagramma Fe-Fe3C (eutettoide 0,76% C a 727 °C) la regola della leva dà le frazioni di fase; tempra (martensite) e rinvenimento controllano durezza e tenacità degli acciai.Proprietà meccaniche dei solidi, trattamenti termici e legame chimico →).

Altri difetti di superficie: la superficie libera (atomi con meno vicini), i geminati (bordi in cui il reticolo è speculare, per effetto di deformazione o ricottura) e i difetti di impilamento.

Difetti di volume

• Pori: vuoti da ritiro o gas di fusione, riducono la sezione resistente e innescano le cricche di fatica.
• Cricche: discontinuità piane. Sono i difetti più pericolosi: concentrano la tensione e danno luogo alla frattura fragile.
• Inclusioni e precipitati: particelle di altre fasi (ossidi, solfuri, carburi). Se sono piccole e ben distribuite rafforzano (indurimento per precipitazione), se sono grandi e allungate fragilizzano.

import math
k_eV = 8.617e-5                          # eV/K
Qv = 0.9                                 # eV/atomo (rame)
for T in (300, 600, 1000, 1273, 1357):
    print(f"T = {T:5d} K: n_v/N = {math.exp(-Qv/(k_eV*T)):.2e}")

s0, ky = 100, 0.60                       # MPa e MPa*sqrt(m)
for d_um in (45, 20, 5):
    print(f"d = {d_um:3d} um: sigma_y = {s0 + ky/math.sqrt(d_um*1e-6):.0f} MPa")

Output: T = 300 K: n_v/N = 7.59e-16, T = 600 K: n_v/N = 2.75e-08, T = 1000 K: n_v/N = 2.91e-05, T = 1273 K: n_v/N = 2.73e-04, T = 1357 K: n_v/N = 4.54e-04; d = 45 um: sigma_y = 189 MPa, d = 20 um: sigma_y = 234 MPa, d = 5 um: sigma_y = 368 MPa.

Riassunto

Errori comuni

• Mettere $T$ in gradi Celsius o $Q_v$ in eV con $R$ (o in J con $k$): le unità devono combaciare.
• Confondere $\vec b$ con la direzione della linea: nello spigolo sono perpendicolari, nella vite paralleli.
• Pensare che i difetti indeboliscano sempre: ostacolare le dislocazioni (con altri difetti) aumenta la resistenza.
• Usare $d$ in metri quando $k_y$ è dato in MPa$\sqrt{\text{m}}$ ma $d$ è in $\mu$m, senza convertire.
• Dimenticare che lo snervamento è il moto di dislocazioni: il valore teorico $G/2\pi$ non è la resistenza reale.

Domande d'esame

• Quali sono i tipi di difetto cristallino e un esempio per ciascuno? Puntuali (vacanza), di linea (dislocazione), di superficie (bordo di grano), di volume (poro, cricca).
• Perché i metalli FCC sono più duttili di quelli HCP? Hanno $12$ sistemi di scorrimento contro $3$: qualunque sia l'orientazione del carico, qualche sistema è ben orientato per la legge di Schmid.
• Perché ridurre il grano rende un metallo più resistente? Il bordo di grano ostacola le dislocazioni: $\sigma_y = \sigma_0 + k_y d^{-1/2}$.
• Che differenza c'è tra una dislocazione a spigolo e una a vite? Nello spigolo $\vec b$ è perpendicolare alla linea (semipiano in più), nella vite è parallelo (piani a elica).