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Note per Studenti Esercizio - bombola di azoto, riscaldamento e massa di gas usata

Esercizio - bombola di azoto, riscaldamento e massa di gas usata

In questa pagina 6

Teoria: Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimicaUn gas ideale obbedisce a PV = nRT (R = 0,08206 L atm/(mol K) = 8,314 J/(mol K)); da qui volume molare (22,41 L a 0 °C e 1 atm), densità e massa molare. In una miscela la pressione totale è la somma delle pressioni parziali (Dalton), p_i = x_i P. La teoria cinetica dà ½ m v² = 3/2 kT e la velocità quadratica media √(3RT/M). I gas reali si scostano dall'ideale ad alta pressione e bassa temperatura: l'equazione di van der Waals (P + a n²/V²)(V − nb) = nRT corregge forze attrattive e volume proprio delle molecole.Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimica →.

Testo. Una bombola di acciaio da V=50,0V = 50{,}0 L contiene azoto alla pressione (assoluta) di 200200 atm e alla temperatura di 15\,^\circC. Si tratti l'azoto come gas ideale (M=28,014M = 28{,}014 g/mol).

  1. Quante moli e quanti chilogrammi di azoto contiene la bombola?
  2. Dimenticata al sole in un magazzino, la bombola raggiunge 50\,^\circC. Quale pressione ha ora?
  3. Dalla bombola, a 15\,^\circC, si preleva gas finché la pressione scende a 2020 atm. Che volume occupa il gas prelevato a 11 atm e 15\,^\circC? Quanti chilogrammi sono?
  4. Domanda teorica: perché le bombole hanno una valvola di sicurezza, e perché l'ipotesi di gas ideale va usata con cautela a 200200 atm?

1. Moli e massa

Si usa PV=nRTPV = nRT con RR in L atm, perché VV è in litri e PP in atm. La temperatura in kelvin è T=15+273,15=288,15T = 15 + 273{,}15 = 288{,}15 K.

n=PVRT=200⋅50,00,08206⋅288,15=10 00023,646=422,9 moln = \frac{PV}{RT} = \frac{200\cdot 50{,}0}{0{,}08206\cdot 288{,}15} = \frac{10\,000}{23{,}646} = 422{,}9\ \text{mol}

La massa è moli per massa molare: m=422,9⋅28,014=11 848m = 422{,}9\cdot 28{,}014 = 11\,848 g =11,8 kg= \mathbf{11{,}8\ kg}.

2. Riscaldamento a volume costante

La bombola è rigida e chiusa: VV e nn non cambiano, e P1/T1=P2/T2P_1/T_1 = P_2/T_2 (Gay-Lussac). T2=50+273,15=323,15T_2 = 50 + 273{,}15 = 323{,}15 K.

P2=P1T2T1=200⋅323,15288,15=224,3 atmP_2 = P_1\frac{T_2}{T_1} = 200\cdot\frac{323{,}15}{288{,}15} = \mathbf{224{,}3\ atm}

La pressione sale di 2424 atm, il 12%12\%, con soli 3535 K in più: i kelvin sono i 12%12\% di 288288, e la pressione cresce nella stessa proporzione. Se si fossero usati i gradi Celsius (50/1550/15) si sarebbe trovato un valore assurdo (667667 atm).

3. Gas prelevato

A TT e VV costanti il gas prelevato è la differenza di moli. Alla fine P=20P = 20 atm, e le moli nella bombola sono proporzionali alla pressione, quindi le moli prelevate corrispondono a una caduta di pressione di 200−20=180200 - 20 = 180 atm:

Δn=180⋅50,00,08206⋅288,15=380,6 mol\Delta n = \frac{180\cdot 50{,}0}{0{,}08206\cdot 288{,}15} = 380{,}6\ \text{mol}

Il volume a 11 atm e 15\,^\circC:

V1=Δn RTP=380,6⋅0,08206⋅288,151=9000 L=9,00 m3V_1 = \frac{\Delta n\, R T}{P} = \frac{380{,}6\cdot 0{,}08206\cdot 288{,}15}{1} = 9000\ \text{L} = \mathbf{9{,}00\ m^3}

È la legge di Boyle: 180⋅50,0=1⋅V1180\cdot 50{,}0 = 1\cdot V_1, quindi V1=9000V_1 = 9000 L. La massa è 380,6⋅28,014=10 663380{,}6\cdot 28{,}014 = 10\,663 g =10,7 kg= \mathbf{10{,}7\ kg}.

Il residuo, 2020 atm, serve a evitare che entri aria nella bombola e a mantenere la portata.

4. Domanda teorica

  • Valvola di sicurezza. A volume costante P∝TP\propto T: un riscaldamento (sole, incendio) fa salire la pressione, come nel punto 2. Se supera il limite del recipiente la valvola scarica il gas invece di far scoppiare la bombola.
  • Gas ideale a 200200 atm. La legge PV=nRTPV = nRT trascura il volume delle molecole e le loro attrazioni. A 200200 atm le molecole sono vicine e il volume proprio pesa: per l'azoto, Z=PV/(nRT)Z = PV/(nRT) è circa 1,031{,}03 a 300300 K, quindi l'errore è di pochi per cento (accettabile per un calcolo di massima). Per un gas con attrazioni forti, come il CO2_2, l'errore è molto maggiore.

Risultati

grandezza valore
moli di azoto 422,9422{,}9 mol, cioè 11,811{,}8 kg
pressione a 50\,^\circC 224,3224{,}3 atm
gas prelevato fino a 2020 atm 9,00 m39{,}00\ \text{m}^3 a 11 atm e 15\,^\circC, cioè 10,710{,}7 kg

Errori comuni

  • Gradi Celsius al posto dei kelvin nel rapporto T2/T1T_2/T_1.
  • Pressione relativa: se il manometro segna 200200 atm relative, la pressione assoluta è 201201 atm, e nei calcoli precisi va usata questa.
  • Dimenticare il gas residuo: la bombola non si svuota fino a 00 atm.

Versione ripasso

Testo. Bombola da 50,050{,}0 L con N2_2 a 200200 atm e 15\,^\circC. Moli e massa; pressione a 50\,^\circC; volume a 11 atm e 15\,^\circC del gas prelevato fino a 2020 atm; perché la valvola di sicurezza e quando il gas ideale non basta.

Soluzione (Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimicaUn gas ideale obbedisce a PV = nRT (R = 0,08206 L atm/(mol K) = 8,314 J/(mol K)); da qui volume molare (22,41 L a 0 °C e 1 atm), densità e massa molare. In una miscela la pressione totale è la somma delle pressioni parziali (Dalton), p_i = x_i P. La teoria cinetica dà ½ m v² = 3/2 kT e la velocità quadratica media √(3RT/M). I gas reali si scostano dall'ideale ad alta pressione e bassa temperatura: l'equazione di van der Waals (P + a n²/V²)(V − nb) = nRT corregge forze attrattive e volume proprio delle molecole.Stato gassoso - gas ideali, miscele e gas reali in chimica →)

  • T=288,15T = 288{,}15 K. n=PV/(RT)=200⋅50,0/(0,08206⋅288,15)=422,9n = PV/(RT) = 200\cdot50{,}0/(0{,}08206\cdot288{,}15) = 422{,}9 mol, m=422,9⋅28,014=11,8m = 422{,}9\cdot28{,}014 = 11{,}8 kg.
  • Volume costante: P2=200⋅323,15/288,15=224,3P_2 = 200\cdot323{,}15/288{,}15 = 224{,}3 atm.
  • Prelevato: Δn=180⋅50,0/(0,08206⋅288,15)=380,6\Delta n = 180\cdot50{,}0/(0{,}08206\cdot288{,}15) = 380{,}6 mol; Boyle 180⋅50,0=1⋅V1180\cdot50{,}0 = 1\cdot V_1 dà V1=9,00 m3V_1 = 9{,}00\ \text{m}^3, massa 10,710{,}7 kg.
  • Valvola: a VV costante P∝TP\propto T. A 200200 atm l'ideale trascura il volume delle molecole e le attrazioni (Z≈1,03Z\approx1{,}03 per N2_2, molto peggio per CO2_2).

Errori tipici: gradi Celsius nel rapporto; pressione relativa; dimenticare il gas residuo.

Teoria collegata