Esercizio - decomposizione del primo ordine, emivita e tempo di consumo

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1. Costante e dimezzamento

Per il primo ordine $\ln\dfrac{[\text{A}]}{[\text{A}]_0} = -kt$, quindi $$k = \frac1t\ln\frac{[\text{A}]_0}{[\text{A}]} = \frac1{1000}\ln\frac{0{,}0200}{0{,}0121} = \frac{\ln1{,}6529}{1000} = \frac{0{,}5025}{1000} = \mathbf{5{,}0\cdot10^{-4}\ s^{-1}}$$ $$t_{1/2} = \frac{\ln2}{k} = \frac{0{,}6931}{5{,}0\cdot10^{-4}} = 1386\ \text{s} = \mathbf{23{,}1\ min}$$

2. Dopo un'ora

$t = 3600$ s: $kt = 5{,}0\cdot10^{-4}\cdot3600 = 1{,}80$. $$[\text{A}] = 0{,}0200\,e^{-1{,}80} = 0{,}0200\cdot0{,}1653 = \mathbf{3{,}3\cdot10^{-3}\ M}$$ Frazione decomposta: $1 - e^{-1{,}80} = 1 - 0{,}1653 = \mathbf{0{,}835}$ ($83{,}5\%$). Equivale a $\frac{3600}{1386} = 2{,}6$ emivite, e infatti $2^{-2{,}6} = 0{,}165$ ✓.

3. Tempo per consumare il $90\%$ e il $99\%$

Resta il $10\%$: $[\text{A}]/[\text{A}]_0 = 0{,}10$, $kt = \ln10 = 2{,}303$: $$t_{90\%} = \frac{2{,}303}{5{,}0\cdot10^{-4}} = 4605\ \text{s} = \mathbf{1{,}28\ h}$$ Resta l'$1\%$: $kt = \ln100 = 4{,}605$, $t_{99\%} = \mathbf{9210\ s = 2{,}56\ h}$ (il doppio, perché $\ln100 = 2\ln10$). Con un decadimento esponenziale non si arriva mai a zero esatto: ogni emivita dimezza quanto resta.

4. Confronto con l'ordine zero

Se $-d[\text{A}]/dt = k$ con $k = 5{,}0\cdot10^{-4}$ M/s, la concentrazione cala linearmente: si annulla a $$t = \frac{[\text{A}]_0}{k} = \frac{0{,}0200}{5{,}0\cdot10^{-4}} = 40\ \text{s}$$ Tutt'altra scala di tempi: i valori numerici di $k$ per ordini diversi non sono confrontabili perché hanno unità diverse. Più interessante è il tempo di dimezzamento di un ordine zero con le stesse condizioni: $t_{1/2} = [\text{A}]_0/2k = 20$ s, e il reagente finisce nel doppio di quel tempo.

5. Domanda teorica

Nel primo ordine $-d[\text{A}]/dt = k[\text{A}]$: la velocità è proporzionale alla quantità presente, quindi ogni molecola ha la stessa probabilità $k$ per unità di tempo di reagire, indipendentemente dalle altre. Ne segue la legge esponenziale (come il decadimento radioattivo): la frazione che reagisce in un dato intervallo è sempre la stessa, e il tempo per dimezzare è $\ln2/k$ comunque si parta. Nel secondo ordine le molecole reagiscono incontrandosi, e il numero di incontri cala al diminuire della concentrazione: $t_{1/2} = 1/(k[\text{A}]_0)$ cresce al procedere della reazione (ogni emivita successiva dura il doppio della precedente).

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Risultati

Errori comuni

• Usare $\log$ decimale al posto di $\ln$ (o viceversa) nelle formule con $e$.
• Moltiplicare $k$ per i minuti con $k$ in s$^{-1}$.
• Applicare $t_{1/2} = \ln2/k$ a un ordine diverso da $1$.
• Dire che dopo due emivite è tutto consumato: resta il $25\%$.