Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1

Primo argomento dell'elettrostatica del corso. Servono i vettori (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →), la seconda legge (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →) e, per il confronto con la gravità, Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →. Seguito: Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1Il campo elettrico E = F/q0 è la forza per unità di carica che una carica ferma subirebbe in quel punto; per una carica puntiforme E = k q / r² (radiale, uscente se q > 0), e per più cariche i campi si sommano come vettori. Una distribuzione continua si tratta con dq = λ dl, σ dS, ρ dV; sull'asse di un anello E = k Q z / (z² + R²)^(3/2). Una carica q in un campo uniforme ha accelerazione a = qE/m.Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 101 · due sferette cariche appese a fili, Esercizio 102 · sferette conduttrici messe a contatto, Esercizio 103 · elettrone attorno a un protone, Esercizio 104 · tre cariche allineate e punto di equilibrio.

La carica elettrica

Oltre alla massa, la materia ha un'altra proprietà che produce forze: la carica elettrica. Ha queste caratteristiche.

• Due segni. Si chiamano positiva e negativa. Cariche dello stesso segno si respingono, di segno opposto si attraggono.
• Conservazione. In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche non cambia mai: la carica può passare da un corpo all'altro, ma non si crea né si distrugge.
• Quantizzazione. Ogni carica libera osservata è un multiplo intero della carica elementare $$e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$ Il protone ha carica $+e$, l'elettrone $-e$, il neutrone $0$. Un corpo è carico perché ha un eccesso o un difetto di elettroni.
• Unità. Il coulomb (C) è una carica enorme rispetto a quelle che si ottengono strofinando oggetti: si usano i sottomultipli $1\ \text{mC} = 10^{-3}$ C, $1\ \mu\text{C} = 10^{-6}$ C, $1\ \text{nC} = 10^{-9}$ C, $1\ \text{pC} = 10^{-12}$ C.

Esempio. Una bacchetta che ha acquistato un eccesso di $10^{12}$ elettroni porta la carica $Q = -10^{12}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19} = -1{,}6\cdot 10^{-7}$ C $= -160$ nC: è una carica già apprezzabile con le attrazioni di piccoli pezzi di carta, ma è una frazione minuscola degli elettroni presenti ($\sim 10^{23}$) nella bacchetta.

Isolanti e conduttori

I materiali si dividono, per come reagiscono alle cariche, in due famiglie.

Esistono poi i semiconduttori (silicio), intermedi, che non servono qui.

Tre modi per caricare un corpo.

1. Strofinio. Due isolanti sfregati si scambiano elettroni: uno resta con carica negativa, l'altro con carica positiva uguale e opposta (conservazione).
2. Contatto. Un corpo carico toccato a un conduttore gli cede parte della carica, che si ridistribuisce su tutto il conduttore. Se i due conduttori sono sfere identiche, la carica totale si divide in parti uguali.
3. Induzione. Avvicinando (senza toccare) un corpo carico positivamente a un conduttore neutro, gli elettroni liberi si spostano verso il corpo: la parte vicina si carica negativamente, quella lontana positivamente. Il conduttore resta complessivamente neutro, ma viene attratto, perché la carica di segno opposto è più vicina. Collegando il conduttore a terra (a un serbatoio enorme di cariche) mentre il corpo è ancora vicino, e poi scollegandolo, gli si lascia una carica netta.

Per questo anche un corpo neutro è attratto da un corpo carico (il pezzetto di carta dopo lo strofinio del pettine).

Legge di Coulomb

Due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$ ferme a distanza $r$ esercitano l'una sull'altra una forza di modulo

Legge (Coulomb). $$F = k\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^2} \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}988\cdot 10^{9}\ \frac{\text{N m}^2}{\text{C}^2}$$

dove $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N m}^2)$ è la costante dielettrica del vuoto. La forza è diretta lungo la retta che congiunge le due cariche, è repulsiva se $q_1 q_2 > 0$ e attrattiva se $q_1 q_2 < 0$.

In forma vettoriale, la forza che la carica $q_1$ esercita sulla carica $q_2$ è

$$\vec F_{12} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\hat r_{12}$$

con $\hat r_{12}$ il versore da $q_1$ verso $q_2$: se $q_1 q_2>0$ la forza ha il verso di $\hat r_{12}$ (allontana), se $q_1 q_2<0$ ha il verso opposto (avvicina). Vale la terza legge: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$.

Confronto con la gravitazione. La struttura è identica: forza centrale, proporzionale al prodotto delle "cariche" e all'inverso del quadrato della distanza. La differenza è che la massa è sempre positiva (la gravità è sempre attrattiva), la carica ha due segni. Per un elettrone e un protone dell'atomo di idrogeno ($r = 5{,}29\cdot 10^{-11}$ m):

$$F_e = k\frac{e^2}{r^2} = 8{,}24\cdot 10^{-8}\ \text{N} \qquad F_g = G\frac{m_e m_p}{r^2} = 3{,}63\cdot 10^{-47}\ \text{N} \qquad \frac{F_e}{F_g} = 2{,}27\cdot 10^{39}$$

Su scala atomica la gravità è del tutto trascurabile. Sui corpi macroscopici, invece, le cariche positive e negative si compensano quasi esattamente, e resta dominante la gravità. Le forze fondamentali sono quattro (gravitazionale, elettromagnetica, nucleare forte e debole): la coulombiana è la parte elettrostatica di quella elettromagnetica (le quattro forze fondamentaliTutte le forze della meccanica (contatto, attrito, tensione, elastica) sono manifestazioni della gravitazionale e dell'elettromagnetica.Leggi di Newton →).

Esempio. Due cariche di $1\ \mu\text{C}$ a $10$ cm di distanza: $F = 8{,}988\cdot 10^9\cdot\frac{10^{-6}\cdot 10^{-6}}{0{,}1^2} = 0{,}899$ N, cioè circa il peso di una massa di $92$ g. Già un microcoulomb produce forze evidenti: per questo i corpi macroscopici sono quasi neutri.

Principio di sovrapposizione

Se le cariche sono più di due, la forza su una di esse è la somma vettoriale delle forze di ciascuna delle altre, calcolate come se le altre non ci fossero:

$$\vec F_{\text{tot su }q} = \sum_i k\,\frac{q_i\,q}{r_i^2}\,\hat r_i$$

Su una retta basta sommare con i segni; nel piano si scompone sugli assi. Metodo: (1) si disegna per ogni carica la direzione della forza (repulsiva/attrattiva); (2) si calcola il modulo di ciascuna con Coulomb; (3) si sommano le componenti.

Esempio (cariche su una retta). In $x = 0$ c'è $q_1 = +4\ \mu\text{C}$, in $x = 0{,}20$ m c'è $q_2 = -2\ \mu\text{C}$, in $x = 0{,}50$ m c'è $q_3 = +1\ \mu\text{C}$. Su $q_3$:

• da $q_1$ (distanza $0{,}50$ m, stesso segno, repulsione verso $+x$): $F_{13} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{4\cdot 10^{-6}\cdot 10^{-6}}{0{,}25} = +0{,}1438$ N;
• da $q_2$ (distanza $0{,}30$ m, segni opposti, attrazione verso $-x$): $F_{23} = -8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{2\cdot 10^{-6}\cdot 10^{-6}}{0{,}09} = -0{,}1997$ N.

Risultante: $F = 0{,}1438 - 0{,}1997 = -0{,}0559$ N, cioè $0{,}056$ N verso le altre cariche (verso $-x$). Si noti che $q_2$ è la metà di $q_1$ ma è molto più vicina a $q_3$: vince.

Cariche in contatto: conservazione

Due sferette conduttrici identiche con cariche $q_a$ e $q_b$ portate a contatto e poi separate hanno la stessa carica finale $q = (q_a + q_b)/2$ (somma conservata, ripartita a metà per simmetria). Se hanno cariche opposte, parte si neutralizza e la forza tra le sferette (a distanza fissa) cambia segno e modulo: si vede nell'Esercizio 102 · sferette conduttrici messe a contatto.

Nei problemi di meccanica

Le cariche sono corpi con massa: la forza di Coulomb entra nell'equilibrio o nella seconda legge insieme a peso, tensioni e vincoli. Due sferette appese a fili si respingono fino a un angolo di equilibrio (Esercizio 101 · due sferette cariche appese a fili); un elettrone che gira attorno a un protone ha la coulombiana come forza centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →, Esercizio 103 · elettrone attorno a un protone).

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare di sommare i vettori: con tre cariche si sommano le forze, non i moduli.
• Sbagliare il verso: attrattiva o repulsiva dipende dal prodotto dei segni; il valore assoluto è nel modulo.
• Usare la distanza in cm o mm senza convertire in metri ($r^2$ compare al denominatore).
• Confondere $\mu$C e nC (fattore $1000$).
• Pensare che la forza dipenda dalla massa: la carica produce la forza, la massa entra solo nell'accelerazione.

Domande d'esame

1. Enunciare la legge di Coulomb e confrontarla con la gravitazione. Risposta: $F = k q_1 q_2/r^2$ lungo la congiungente; stessa dipendenza da $1/r^2$, ma la carica ha due segni (forza anche repulsiva) e il rapporto elettrone-protone tra le due forze è $\sim 10^{39}$.
2. Perché un oggetto neutro viene attratto da un corpo carico? Risposta: per induzione le cariche del conduttore si separano e quelle di segno opposto, più vicine, danno una forza attrattiva prevalente.
3. Due cariche uguali a distanza $r$ si respingono con $F$. Quanto vale la forza se la distanza raddoppia? E se una delle due carica raddoppia? Risposta: $F/4$; $2F$.