Esercizio 120filo trafilato e resistenza che cambia

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Testo. Un filo metallico omogeneo di lunghezza $L_0 = 2{,}0\ \text{m}$ ha resistenza $R_0 = 4{,}0\ \Omega$ a $20\,^\circ$ C. Viene trafilato, cioè allungato a volume costante, fino alla lunghezza $L = 3{,}0\ \text{m}$ (la sezione resta uniforme e il materiale non cambia). Determinare:

a) la nuova sezione in rapporto a quella iniziale e il rapporto tra i diametri;

b) la nuova resistenza;

c) corrente e potenza dissipata quando il filo, prima e dopo la trafilatura, è collegato a un generatore ideale da $12\ \text{V}$ ;

d) la resistenza del filo originale a $120\,^\circ$ C, con coefficiente di temperatura $\alpha = 3{,}9\cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ (rame), e la corrente a $12$ V.

Teoria: Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1.

a) Sezione e diametro

Il volume del filo è $V = A L$ e non cambia nella trafilatura:

$A_0 L_0 = A\,L \quad\Longrightarrow\quad \frac{A}{A_0} = \frac{L_0}{L} = \frac{2{,}0}{3{,}0} = 0{,}667$

Il filo diventa più lungo e più sottile. Poiché $A\propto d^2$ , il diametro scala come la radice:

$\frac{d}{d_0} = \sqrt{\frac{A}{A_0}} = \sqrt{0{,}667} = 0{,}816$

b) Nuova resistenza

La resistività $\rho$ non cambia (stesso materiale). La resistenza è $R = \rho L/A$ :

$\frac{R}{R_0} = \frac{L/A}{L_0/A_0} = \frac{L}{L_0}\cdot\frac{A_0}{A} = \frac{L}{L_0}\cdot\frac{L}{L_0} = \left(\frac{L}{L_0}\right)^2 = \left(\frac{3{,}0}{2{,}0}\right)^2 = 2{,}25$

$R = 2{,}25\cdot 4{,}0 = 9{,}0\ \Omega$

A volume costante, la resistenza cresce come il quadrato della lunghezza: un fattore $1{,}5$ dalla lunghezza e un fattore $1{,}5$ dalla sezione ridotta.

c) Corrente e potenza a $12$ V

Con generatore ideale (tensione fissa), legge di Ohm e potenza $P = V^2/R$ :

	$R$	$i = V/R$	$P = V^2/R$
prima	$4{,}0\ \Omega$	$12/4{,}0 = 3{,}0\ \text{A}$	$144/4{,}0 = 36\ \text{W}$
dopo	$9{,}0\ \Omega$	$12/9{,}0 = 1{,}33\ \text{A}$	$144/9{,}0 = 16\ \text{W}$

La corrente scende al $44\%$ e la potenza dissipata passa da $36$ a $16$ W (rapporto $1/2{,}25$ ). Con $V$ fissa, una resistenza maggiore dissipa meno.

d) Effetto della temperatura

La resistività dei metalli cresce con la temperatura: $R(T) = R_0\,[1 + \alpha\,(T - T_0)]$ , con $T - T_0 = 120 - 20 = 100$ K:

$R(120\,^\circ\text{C}) = 4{,}0\cdot(1 + 3{,}9\cdot 10^{-3}\cdot 100) = 4{,}0\cdot 1{,}39 = 5{,}56\ \Omega$

La corrente a $12$ V diventa $i = 12/5{,}56 = 2{,}16$ A, contro i $3{,}0$ A di prima: l'aumento di temperatura riduce la corrente del $28\%$ . (Si trascura la dilatazione termica del filo, piccola rispetto a questo effetto.)

Risultati

grandezza	valore
a) $A/A_0$ e $d/d_0$	$0{,}667$ e $0{,}816$
b) resistenza dopo la trafilatura	$9{,}0\ \Omega$ ( $\times 2{,}25$ )
c) corrente e potenza prima	$3{,}0\ \text{A}$ , $36\ \text{W}$
c) corrente e potenza dopo	$1{,}33\ \text{A}$ , $16\ \text{W}$
d) resistenza a $120\,^\circ$ C e corrente	$5{,}56\ \Omega$ , $2{,}16\ \text{A}$

Errori comuni

Moltiplicare la resistenza solo per $L/L_0$ (fattore $1{,}5$ ), dimenticando che la sezione diminuisce.
Tenere la sezione costante mentre si allunga il filo: a volume costante $A$ cala.
Dire che la potenza aumenta con la resistenza a tensione fissa: $P = V^2/R$ diminuisce.
Usare $\alpha$ con la temperatura in kelvin assoluti: serve la differenza $T - T_0$ (uguale in $^\circ$ C e in K).

Versione ripasso

Testo. Filo con $L_0 = 2{,}0$ m e $R_0 = 4{,}0\ \Omega$ a $20\,^\circ$ C, trafilato a volume costante fino a $L = 3{,}0$ m. Sezione e diametro; nuova resistenza; corrente e potenza a $12$ V prima e dopo; resistenza a $120\,^\circ$ C ( $\alpha = 3{,}9\cdot 10^{-3}$ K⁻¹).

Soluzione

(Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1)

Volume costante: $A/A_0 = L_0/L = 0{,}667$ ; $d/d_0 = 0{,}816$ .
$R/R_0 = (L/L_0)^2 = 2{,}25$ , $R = 9{,}0\ \Omega$ .
A $12$ V: prima $3{,}0$ A e $36$ W, dopo $1{,}33$ A e $16$ W ( $P = V^2/R$ ).
$R(120\,^\circ\text{C}) = 4{,}0\,(1 + 3{,}9\cdot 10^{-3}\cdot 100) = 5{,}56\ \Omega$ , $i = 2{,}16$ A.

Errori tipici: fattore $L/L_0$ invece del quadrato; sezione costante; potenza che cresce con $R$ a $V$ fissa.

Teoria collegata

Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1