Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1

Dopo Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1Il campo elettrico E = F/q0 è la forza per unità di carica che una carica ferma subirebbe in quel punto; per una carica puntiforme E = k q / r² (radiale, uscente se q > 0), e per più cariche i campi si sommano come vettori. Una distribuzione continua si tratta con dq = λ dl, σ dS, ρ dV; sull'asse di un anello E = k Q z / (z² + R²)^(3/2). Una carica q in un campo uniforme ha accelerazione a = qE/m.Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1 → e Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q_interna / ε0. Quando la distribuzione ha simmetria (sferica, cilindrica, piana) si sceglie la superficie in modo che E sia costante e perpendicolare e il campo si ricava subito: filo infinito E = λ / (2π ε0 r), piano infinito E = σ / (2 ε0) uniforme, due piani con carica opposta E = σ / ε0 nello spazio tra i piani.Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1 →. Segue la stessa logica di Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale → e di Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →. Seguito: Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, il potenziale è lo stesso in tutto il conduttore, la carica sta solo sulla superficie e il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie con modulo E = σ / ε0. Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q ha V = k Q / R sulla superficie; due sfere collegate hanno lo stesso potenziale, quindi la più piccola ha il campo superficiale più intenso (effetto delle punte). Una cavità chiusa è schermata dai campi esterni.Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 111 · elettrone accelerato da una differenza di potenziale, Esercizio 112 · due protoni che si avvicinano, Esercizio 113 · energia di tre cariche ai vertici di un triangolo, Esercizio 114 · potenziale assegnato, campo e oscillazioni di un protone.

Lavoro della forza elettrica

Una carica $q$ che si sposta in un campo $\vec E$ riceve dal campo il lavoro

$$W_{A\to B} = \int_A^B q\vec E\cdot d\vec l$$

Per il campo di una carica puntiforme $Q$ (forza centrale) il lavoro dipende solo dalle distanze iniziale $r_A$ e finale $r_B$:

$$W_{A\to B} = \int_{r_A}^{r_B} k\frac{qQ}{r^2}\,dr = kqQ\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)$$

Non dipende dal percorso: la forza di Coulomb è conservativa, come la gravitazionale (stessa forma, Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →). Vale anche per un insieme di cariche fisse, per sovrapposizione. Quindi esiste un'energia potenziale con $W = -\Delta U$.

Energia potenziale (due cariche puntiformi). $$U(r) = k\,\frac{q\,Q}{r}$$ con zero all'infinito. Positiva se le cariche sono dello stesso segno (si respingono: per avvicinarle si compie lavoro), negativa se di segno opposto (si attraggono).

Il potenziale elettrostatico

Come il campo è la forza per unità di carica, il potenziale è l'energia potenziale per unità di carica:

Definizione (potenziale e differenza di potenziale). $$V = \frac{U}{q}, \qquad V_B - V_A = -\int_A^B \vec E\cdot d\vec l, \qquad W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B)$$ Unità: il volt, $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.

Il potenziale è definito a meno di una costante; ha significato la differenza tra due punti. Di solito si pone $V = 0$ all'infinito (o a terra). Una carica positiva "scende" spontaneamente verso potenziali più bassi, una negativa verso potenziali più alti. L'energia che una carica $e$ guadagna attraversando $1$ V è l'elettronvolt: $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}$ J.

Carica puntiforme: $V(r) = k\dfrac{Q}{r}$ ($V>0$ se $Q>0$). Per più cariche si sommano i potenziali, che sono grandezze scalari (nessuna scomposizione):

$$V = \sum_i k\frac{q_i}{r_i}$$

Esempio. $Q = 5{,}0$ nC a $r = 0{,}30$ m: $V = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{5{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}30} = 150$ V. Nel punto medio fra $+2{,}0$ nC e $-2{,}0$ nC il potenziale è $0$, ma il campo no (vale $3595$ N/C verso la carica negativa): potenziale nullo non significa campo nullo.

Energia di un sistema di cariche. È il lavoro necessario per portarle dall'infinito alla configurazione, una alla volta: la somma sulle coppie

$$U = \sum_{i<j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}$$

Per tre cariche, tre termini. Lo si controlla portando le cariche una a una: la prima non costa lavoro, la seconda lavora nel campo della prima, la terza nel campo delle prime due.

Relazione tra campo e potenziale

Dalla definizione, in una direzione $x$: $dV = -E_x\,dx$, cioè

$$E_x = -\frac{dV}{dx}$$

Il campo punta nel verso in cui il potenziale diminuisce più rapidamente ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali ($V$ costante). Nel caso uniforme, tra due punti a distanza $\Delta s$ lungo il campo, $\Delta V = -E\,\Delta s$, quindi $E = |\Delta V|/\Delta s$ (da qui l'unità V/m).

• carica puntiforme: le equipotenziali sono sfere concentriche;
• campo uniforme: sono piani perpendicolari al campo;
• il lavoro del campo su un percorso lungo una equipotenziale è nullo.

Per il filo infinito si trova $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + \text{cost}$ (logaritmo: il potenziale non si può porre nullo all'infinito, si fissa un riferimento a distanza finita); per il piano infinito il potenziale è lineare nella distanza.

Conservazione dell'energia di una carica

Se agisce solo la forza elettrica (conservativa), l'energia meccanica della carica si conserva (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →):

$$\tfrac12 m v_A^2 + qV_A = \tfrac12 m v_B^2 + qV_B$$

Un'applicazione: una carica $q$ partita da ferma e accelerata da una differenza di potenziale $\Delta V$ acquista $\tfrac12 m v^2 = |q\,\Delta V|$.

Esempio. Un protone accelerato da $1000$ V: $\tfrac12 m_p v^2 = 1000\ \text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-16}$ J, da cui $v = \sqrt{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-16}/1{,}673\cdot 10^{-27}} = 4{,}4\cdot 10^{5}$ m/s. Un elettrone con la stessa energia ha $v = 1{,}9\cdot 10^{7}$ m/s: a parità di energia l'elettrone è molto più veloce, perché è molto più leggero.

Riassunto

Errori comuni

• Sommare i potenziali come vettori: sono scalari, si sommano con i segni.
• Confondere potenziale e energia potenziale: $U = qV$.
• Sbagliare il segno del lavoro: $W = q(V_A - V_B)$; per cariche negative i ruoli di salita e discesa sono invertiti.
• Dire che $V=0$ implica $E=0$ (o viceversa): $E$ dipende dalla derivata di $V$.
• Contare ogni coppia due volte nell'energia di un sistema.

Domande d'esame

1. Definire il potenziale e dire perché è definito a meno di una costante. Risposta: $V = U/q$, con $\Delta V = -\int\vec E\cdot d\vec l$; compaiono solo differenze, e aggiungere una costante a $V$ non cambia $\vec E$.
2. Che lavoro compie il campo su una carica $q$ spostata lungo una superficie equipotenziale? Risposta: nullo, perché $\Delta V = 0$ (campo perpendicolare allo spostamento).
3. Un elettrone parte da fermo e viene accelerato da $500$ V. Che energia acquista e quanto vale la velocità? Risposta: $500$ eV $= 8{,}0\cdot 10^{-17}$ J; $v = \sqrt{2\cdot 8{,}0\cdot 10^{-17}/9{,}109\cdot 10^{-31}} = 1{,}3\cdot 10^{7}$ m/s.