Energia cinetica e lavoro nella rotazione

Prima: Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →. Riprende Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →, Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → e Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →. Seguito: Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →. Esercizi: Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto, Esercizio 62 · disco spinto da una forza orizzontale su un piano inclinato.

Energia cinetica di rotazione

Per un corpo rigido che ruota con velocità angolare $\omega$ attorno a un asse fisso, ogni pezzetto $dm$ a distanza $r$ dall'asse ha velocità $\omega r$. Sommando le energie cinetiche:

Formula (energia cinetica di rotazione). $$K = \int\frac12 (\omega r)^2\,dm = \frac12\,\omega^2\int r^2\,dm = \frac12\,I\,\omega^2$$

con $I$ momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione (Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →).

Esempio. Un disco omogeneo di massa $3$ kg e raggio $0{,}4$ m ($I = \frac12 \cdot 3 \cdot 0{,}16 = 0{,}24\ \text{kg}\,\text{m}^2$) che fa $2$ giri al secondo ha $\omega = 2 \cdot 2\pi = 12{,}6$ rad/s e $K = \frac12 \cdot 0{,}24 \cdot 12{,}6^2 = 18{,}9$ J.

Corpo che rototrasla: teorema di König

Se il corpo trasla e ruota insieme, per il teorema di König (Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →) l'energia cinetica è quella del centro di massa più quella del moto attorno al centro di massa. Per un corpo rigido il moto attorno al CM è una rotazione con velocità angolare $\omega$, quindi

Teorema di König (energia di un corpo che rototrasla). $$K = \frac12 M v_{CM}^2 + \frac12 I_{CM}\,\omega^2$$

dove $I_{CM}$ è calcolato rispetto all'asse passante per il CM parallelo a $\vec\omega$.

Esempio. $M = 2$ kg, $v_{CM} = 3$ m/s, $I_{CM} = 0{,}01\ \text{kg m}^2$, $\omega = 20\ \text{rad/s}$: $K = \frac12\cdot2\cdot9 + \frac12\cdot0{,}01\cdot400 = 9 + 2 = 11$ J.

Coerenza con la rotazione attorno a un asse fisso. Se il corpo ruota attorno a un asse fisso a distanza $d$ dal CM, il CM ha velocità $v_{CM} = \omega d$ e

$$K = \frac12 M\omega^2 d^2 + \frac12 I_{CM}\omega^2 = \frac12\big(I_{CM} + Md^2\big)\omega^2 = \frac12 I\omega^2$$

per il teorema di Steiner: le due formule danno lo stesso risultato, come deve essere.

Lavoro di un momento

Una forza $\vec F$ applicata in un punto a distanza $r$ dall'asse; quando il corpo ruota di $d\theta$ il punto si sposta di un arco $ds = r\,d\theta$ lungo la circonferenza. Solo la componente tangente $F_t$ della forza compie lavoro (quella radiale è perpendicolare allo spostamento):

$$dW = F_t\,ds = F_t\,r\,d\theta = M_z\,d\theta$$

perché $F_t\,r$ è proprio il momento della forza rispetto all'asse. Per una rotazione finita:

Formula (lavoro di un momento). $$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_z\,d\theta \qquad\text{e, se } M_z \text{ è costante,}\qquad W = M_z\,\Delta\theta$$

Unità: N·m × rad = J (il radiante è adimensionale). Momento e lavoro hanno la stessa unità, ma sono grandezze diverse: il momento è un vettore, il lavoro uno scalare.

Esempio: momento d'attrito. Sul perno di un'asta agisce un momento d'attrito costante $M_{attr} = 0{,}4$ N·m, sempre opposto alla rotazione. Mentre l'asta ruota di un quarto di giro ($\Delta\theta = \pi/2$) compie il lavoro

$$W_{attr} = -M_{attr}\,\frac{\pi}{2} = -0{,}4\cdot 1{,}571 = -0{,}628\ \text{J}$$

negativo perché si oppone al moto. (È il caso del tema del 14 giugno 2023, problema 2.)

Potenza

La potenza è il lavoro per unità di tempo:

Formula (potenza di un momento). $$P = \frac{dW}{dt} = M_z\,\frac{d\theta}{dt} = M_z\,\omega$$

Esempio. Analogo di $P = Fv$: un motore che eroga un momento di $200$ N·m a $3000$ giri/min ($\omega = 3000\cdot\frac{2\pi}{60} = 314$ rad/s) sviluppa $P = 200\cdot 314 = 62{,}8$ kW.

Teorema dell'energia cinetica

Il lavoro di tutte le forze (esterne e interne) è uguale alla variazione di energia cinetica. Per un corpo rigido le forze interne non compiono lavoro: due punti del corpo si attraggono con forze opposte lungo la congiungente, e la loro distanza non cambia, quindi il lavoro complessivo della coppia è nullo. Allora

Teorema dell'energia cinetica (rotazione). $$W^{(e)} = \Delta K$$

Esempio. Un disco con $I = 0{,}24\ \text{kg m}^2$ parte da fermo e raggiunge $\omega = 12{,}6\ \text{rad/s}$ ($K = 18{,}9$ J) sotto un momento costante di $2\ \text{N m}$: $\Delta\theta = \frac{18{,}9}{2} = 9{,}45$ rad.

Per la rotazione attorno a un asse fisso, combinando con $M_z = I\alpha$:

$$\int M_z\,d\theta = \int I\,\frac{d\omega}{dt}\,d\theta = \int I\,\omega\,d\omega = \frac12 I\omega_2^2 - \frac12 I\omega_1^2$$

(si usa $\frac{d\theta}{dt} = \omega$, lo stesso passaggio di $a\,dx = v\,dv$ del moto rettilineo).

Conservazione dell'energia meccanica

Se le forze che compiono lavoro sono conservative (Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →), l'energia meccanica si conserva:

$$K + U = \text{costante}$$

Per un corpo rigido nel campo di gravità l'energia potenziale è quella di un punto con tutta la massa nel CM:

Formula (energia potenziale gravitazionale di un corpo rigido). $$U = M g\,y_{CM}$$

Esempio. Asta di $1$ kg con il CM a $0{,}5$ m sopra il livello zero: $U = 1\cdot9{,}81\cdot0{,}5 = 4{,}91$ J.

(lo si dimostra come per il momento del peso: $\int g\,y\,dm = g\,M y_{CM}$).

Le forze dei vincoli ideali non compiono lavoro:

• la reazione di un perno fisso è applicata in un punto fermo;
• la forza d'attrito statico nel Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento → è applicata nel punto di contatto, che ha velocità nulla.

Per questo nei problemi con perni lisci o rotolamento si può usare la conservazione dell'energia, anche se c'è attrito statico. L'attrito dinamico (strisciamento) invece dissipa energia.

Esempio: asta che cade. L'asta dell'esempio in Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso → (massa $M$, lunghezza $\ell$, perno liscio in un estremo, lasciata da ferma in orizzontale): quando passa per la verticale il CM è sceso di $\ell/2$, quindi

$$\frac12\cdot\frac13 M\ell^2\,\omega^2 = Mg\,\frac{\ell}{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{3g}{\ell}}$$

Con $\ell = 0{,}8$ m: $\omega = \sqrt{3\cdot 9{,}81/0{,}8} = 6{,}06$ rad/s. L'estremo libero passa a $v = \omega\ell = 4{,}85$ m/s, più di quanto avrebbe un sasso caduto da ferma dalla stessa quota $\ell$ ($\sqrt{2g\ell} = 3{,}96$ m/s).

Se sul perno c'è il momento d'attrito di $0{,}4$ N·m, si usa il teorema dell'energia cinetica con il lavoro dell'attrito: con $M = 0{,}6$ kg, $\frac12 I\omega^2 = Mg\frac{\ell}{2} - M_{attr}\frac{\pi}{2} = 2{,}354 - 0{,}628 = 1{,}726$ J, $I = 0{,}128$ kg m², quindi $\omega = 5{,}19$ rad/s.

Esempio applicato: il volano di un motore

Il volano è un disco massiccio montato sull'albero motore: accumula energia cinetica e livella le fluttuazioni del momento motore (che nel ciclo di un motore a scoppio non è costante). Un volano a disco pieno con $M = 40$ kg e $R = 0{,}30$ m ha

$$I = \tfrac12 MR^2 = \tfrac12\cdot 40\cdot 0{,}09 = 1{,}8\ \text{kg m}^2$$

A $3000$ giri/min ($\omega = 3000\cdot 2\pi/60 = 314$ rad/s) l'energia cinetica è

$$K = \tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12\cdot 1{,}8\cdot 314^2 = 8{,}88\cdot 10^{4}\ \text{J} = 88{,}8\ \text{kJ}$$

• Livellamento. Se la velocità oscilla tra $2900$ e $3100$ giri/min ($303{,}7$ e $324{,}6$ rad/s), tra i due estremi il volano scambia $\Delta K = \tfrac12 I(\omega_2^2 - \omega_1^2) = \tfrac12\cdot 1{,}8\cdot(324{,}6^2 - 303{,}7^2) = 11{,}8$ kJ, cioè il $13\%$ di $K$: assorbe l'energia in eccesso nelle fasi di spinta e la restituisce nelle fasi passive, con una variazione di velocità di solo $\pm 3{,}3\%$.
• Frenata. Con un momento frenante costante lo si ferma in $t = 10$ s: $\alpha = \omega/t = 31{,}4$ rad/s$^2$ e $M_z = I\alpha = 1{,}8\cdot 31{,}4 = 56{,}5$ N m. Nello stesso tempo ruota di $\Delta\theta = \omega t/2 = 1571$ rad, e il lavoro è $W = M_z\Delta\theta = -56{,}5\cdot 1571 = -88{,}8$ kJ, uguale a $-K$ come richiede il teorema dell'energia cinetica ✓.

Riassunto

Errori comuni

• Usare $\frac12 I_{CM}\omega^2$ per un corpo che ruota attorno a un asse che non passa per il CM: serve $I$ rispetto all'asse di rotazione, oppure König con anche $\frac12 Mv_{CM}^2$.
• Calcolare l'energia potenziale con la quota di un estremo invece che con la quota del CM.
• Dimenticare il lavoro di un momento d'attrito sul perno: con l'attrito l'energia meccanica non si conserva.
• Pensare che l'attrito statico nel rotolamento dissipi energia: non compie lavoro.