Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripli

Per sapere come un albero, un volano o un rotore si accelera, quanta energia immagazzina o se vibra, servono tre numeri del corpo: la massa, il baricentro e i momenti d'inerzia. Se il corpo ha forma e densità note, tutto si calcola con gli integrali tripli. Qui si organizza quanto già visto in Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione → (definizione di baricentro e di momento d'inerzia, coordinate cilindriche e sferiche) e si aggiungono il teorema di Huygens-Steiner, il tensore d'inerzia e i calcoli per i solidi più comuni. Il lato fisico (teorema di Huygens-Steiner, equazioni del moto di rotazione) è in Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner → e Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →. Prerequisiti: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →, Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → e Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia → (stesse formule per lastre e fili).

1. Massa e baricentro

Sia $E\subset\mathbb{R}^3$ un solido con densità di massa $\mu(x,y,z)\ge0$ continua. La massa è $M=\iiint_E\mu$ e il baricentro $B=(x_B,y_B,z_B)$ è $$x_B=\frac1M\iiint_Ex\,\mu,\qquad y_B=\frac1M\iiint_Ey\,\mu,\qquad z_B=\frac1M\iiint_Ez\,\mu,$$ cioè la media delle posizioni pesata con la densità. Se $\mu$ è costante il baricentro è il centroide geometrico.

Due regole pratiche.

• Simmetria. Se $E$ e $\mu$ sono simmetrici rispetto a un piano (per esempio $\mu(-x,y,z)=\mu(x,y,z)$), il baricentro sta nel piano ($x_B=0$). Se c'è un asse di simmetria, sta sull'asse.
• Corpi composti. L'integrale è additivo: se $E=E_1\cup E_2$ (disgiunti a meno di insiemi di volume nullo), $M=M_1+M_2$ e $B=\frac{M_1B_1+M_2B_2}{M}$. Una cavità si tratta come un corpo di massa negativa: $M=M_1-M_c$ e $B=\frac{M_1B_1-M_cB_c}{M_1-M_c}$ (con $M_c$ e $B_c$ massa e baricentro del pezzo asportato, supposto con la stessa densità).

2. Momento d'inerzia e energia cinetica

Definizione. Il momento d'inerzia di $E$ rispetto a una retta $r$ è $$I_r=\iiint_E\delta(x,y,z)^2\,\mu\,dx\,dy\,dz,$$ con $\delta$ la distanza del punto $(x,y,z)$ da $r$. Per l'asse $z$: $\delta^2=x^2+y^2$, e $I_z=\iiint(x^2+y^2)\mu$.

Il motivo è questo: se il corpo ruota attorno a $r$ con velocità angolare $\omega$, il punto a distanza $\delta$ ha velocità $\omega\delta$ e l'energia cinetica è $$T=\iiint_E\tfrac12\mu\,(\omega\delta)^2=\tfrac12\,I_r\,\omega^2 .$$ Il momento d'inerzia è per la rotazione ciò che la massa è per la traslazione: misura quanto è difficile far girare il corpo. Si usa anche il raggio d'inerzia $\varrho=\sqrt{I_r/M}$ (la distanza a cui concentrare tutta la massa per avere lo stesso $I_r$). Se la massa sta lontana dall'asse (un anello, un volano a corona) $I_r$ è grande a parità di massa.

Le formule valgono con le stesse definizioni per una lastra (densità superficiale $\sigma$, integrale doppio o di superficie) e per un filo (integrale curvilineo di prima specie): cambia solo la misura.

3. Il tensore d'inerzia

Per un asse qualsiasi per l'origine si può scrivere $I_{\underline n}$ in funzione della direzione $\underline n$ ($|\underline n|=1$) con una sola matrice.

Definizione. Il tensore d'inerzia rispetto all'origine $O$ è la matrice simmetrica $$J=\iiint_E\mu\begin{pmatrix}y^2+z^2&-xy&-xz\\-xy&x^2+z^2&-yz\\-xz&-yz&x^2+y^2\end{pmatrix}dx\,dy\,dz=\iiint_E\mu\,\big(|\underline x|^2\mathrm{Id}-\underline x\,\underline x^{\mathsf T}\big).$$ Gli elementi diagonali $J_{xx},J_{yy},J_{zz}$ sono i momenti rispetto agli assi coordinati; gli altri sono (a meno del segno) i momenti di deviazione $-\iiint\mu xy$, ecc.

Teorema (D). Il momento d'inerzia rispetto alla retta per $O$ di direzione $\underline n$ è $$I_{\underline n}=\underline n\cdot J\,\underline n .$$

Dimostrazione. La distanza di $\underline x$ dalla retta $\mathbb{R}\underline n$ è la lunghezza della componente ortogonale a $\underline n$, e per Pitagora $\delta^2=|\underline x|^2-(\underline x\cdot\underline n)^2$. Poiché $|\underline n|^2=1$ e $(\underline x\cdot\underline n)^2=\underline n\cdot\underline x\,\underline x^{\mathsf T}\underline n$, $$\delta^2=\underline n\cdot\big(|\underline x|^2\mathrm{Id}-\underline x\,\underline x^{\mathsf T}\big)\underline n .$$ Moltiplicando per $\mu$ e integrando, e portando $\underline n$ fuori dall'integrale (non dipende da $\underline x$), si ottiene la tesi. $\blacksquare$

Assi principali. $J$ è simmetrica: per il teorema spettrale (DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →) ha tre autovalori reali $J_1,J_2,J_3\ge0$ e autovettori ortogonali, gli assi principali d'inerzia in $O$. Sui tre assi principali la matrice è diagonale e $I_{\underline n}=J_1n_1^2+J_2n_2^2+J_3n_3^2$ nella base principale. Poiché $I_{\underline n}$ è il massimo e il minimo di una forma quadratica sulla sfera, i momenti principali sono il minimo e il massimo (e un valore di sella) dei momenti d'inerzia rispetto alle rette per $O$: si vede con i moltiplicatori in Esercizio - momento d'inerzia minimo e massimo rispetto agli assi per un punto.

Simmetrie. Se $E$ e $\mu$ sono simmetrici rispetto al piano $x=0$ i momenti di deviazione $J_{xy},J_{xz}$ si annullano (gli integrali di funzioni dispari); se $E$ è di rotazione attorno a $z$, $J$ è diagonale con $J_{xx}=J_{yy}$, e ogni asse per $O$ nel piano $xy$ è principale. Un cubo omogeneo rispetto al suo centro ha $J$ multiplo dell'identità: tutte le rette per il centro hanno lo stesso momento.

4. Il teorema di Huygens-Steiner

Teorema (D). Sia $r_G$ una retta per il baricentro $G$ e $r$ una retta parallela a $r_G$ a distanza $d$. Allora $$I_r=I_{r_G}+M\,d^2 .$$

Dimostrazione. Si pone l'origine in $G$ e sia $\underline n$ la direzione comune; sia $\underline d$ il vettore, ortogonale a $\underline n$, che porta da $r_G$ a $r$ (con $|\underline d|=d$). Per un punto $\underline x$ sia $\underline x_\perp=\underline x-(\underline x\cdot\underline n)\underline n$ la componente ortogonale. Allora la distanza da $r_G$ è $|\underline x_\perp|$ e quella da $r$ è $|\underline x_\perp-\underline d|$, perciò $$\delta_r^2=|\underline x_\perp|^2-2\,\underline x_\perp\cdot\underline d+d^2 .$$ Moltiplicando per $\mu$ e integrando: $I_r=I_{r_G}-2\Big(\iiint\mu\,\underline x_\perp\Big)\cdot\underline d+Md^2$. Ma $\iiint\mu\,\underline x=M\,\underline x_G=\underline0$ perché l'origine è nel baricentro, e quindi anche la componente ortogonale ha integrale nullo. Resta $I_r=I_{r_G}+Md^2$. $\blacksquare$

Il momento rispetto ad una retta per il baricentro è il più piccolo fra quelli delle rette con la stessa direzione. Conseguenza: se si conosce $I_G$, basta aggiungere $Md^2$ per un qualsiasi asse parallelo. La versione matriciale (stessa dimostrazione) è $J_O=J_G+M\big(|\underline d|^2\mathrm{Id}-\underline d\,\underline d^{\mathsf T}\big)$, con $\underline d$ il vettore $\overrightarrow{OG}$.

5. I solidi più comuni

Tutti i calcoli seguono lo schema: coordinate adatte alla simmetria, $\delta^2$ scritto in quelle coordinate, integrale.

Cilindro pieno di raggio $R$ e altezza $h$ (densità $\mu$ costante, $M=\mu\pi R^2h$), asse $z$: in cilindriche $\delta^2=\rho^2$, $$I_z=\mu\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^h\!\!\int_0^R\rho^2\cdot\rho\,d\rho\,dz\,d\theta=\mu\cdot2\pi h\frac{R^4}4=\frac12\,MR^2 .$$ Cilindro cavo (raggi $R_1<R_2$): l'integrale in $\rho$ va da $R_1$ a $R_2$ e dà $\mu\pi h\frac{R_2^4-R_1^4}2$; con $M=\mu\pi h(R_2^2-R_1^2)$ e $R_2^4-R_1^4=(R_2^2-R_1^2)(R_2^2+R_1^2)$, $$I_z=\tfrac12M(R_1^2+R_2^2).$$ Sfera piena (raggio $R$, $M=\frac43\pi\mu R^3$), asse $z$: in sferiche $\delta^2=\rho^2\sin^2\varphi$, $$I_z=\mu\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi\int_0^R\rho^4d\rho=\mu\cdot2\pi\cdot\frac43\cdot\frac{R^5}5=\frac{8\pi}{15}\mu R^5=\frac25MR^2 .$$ Guscio sferico (superficie, densità $\sigma$, $M=4\pi R^2\sigma$): con $d\sigma=R^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$, $I_z=\sigma R^4\cdot2\pi\cdot\frac43=\frac{8\pi}3\sigma R^4=\frac23MR^2$. Parallelepipedo di lati $a,b,c$ con asse per il centro parallelo al lato $c$: $I=\frac{M(a^2+b^2)}{12}$ (integrali $\int_{-a/2}^{a/2}x^2dx=\frac{a^3}{12}$, ecc.).

Corpi di rotazione. Se $E$ è ottenuto ruotando attorno all'asse $z$ la regione fra $\rho=0$ e $\rho=r(z)$, $z\in[0,h]$, con densità costante, la sezione a quota $z$ è un disco di raggio $r(z)$, e un disco ha momento $\frac12m r^2=\frac12(\mu\pi r^2dz)r^2$: $$I_z=\frac{\pi\mu}2\int_0^hr(z)^4\,dz .$$ Cono (base nel piano $z=0$ di raggio $R$, vertice in $(0,0,h)$, $r(z)=R(1-z/h)$, $M=\frac13\pi\mu R^2h$): $\int_0^hR^4(1-z/h)^4dz=\frac{R^4h}5$, quindi $I_z=\frac{\pi\mu R^4h}{10}=\frac3{10}MR^2$. Il baricentro dista $\frac h4$ dalla base: $z_B=\frac1M\mu\int_0^hz\,\pi r^2dz=\frac h4$. Il momento rispetto a un diametro e quello rispetto a un asse trasversale per il baricentro sono nell'esercizio sul cono pieno.

6. Il lato meccanico

• Volano. L'energia immagazzinata è $\frac12I\omega^2$: a parità di massa e di velocità, un volano con la massa nella corona (grande $I$) accumula più energia. Esempio numerico nell'esercizio sul volano.
• Equilibratura. Un rotore che gira attorno a un asse è equilibrato dinamicamente se l'asse è principale d'inerzia e passa per il baricentro: altrimenti i momenti di deviazione $J_{xz},J_{yz}$ sono diversi da zero e i cuscinetti subiscono una coppia che ruota con l'albero (vibrazioni). Il controllo si fa con il tensore $J$.
• Corpi con cavità o forature. Il baricentro e i momenti si calcolano per differenza (§1) e il teorema di Huygens-Steiner sposta i momenti dal baricentro di ciascun pezzo all'asse comune.

Errori da evitare

• Usare $\delta$ invece di $\delta^2$ (o la distanza dall'origine invece che dall'asse): in sferiche $\delta^2=\rho^2\sin^2\varphi$ rispetto all'asse $z$, non $\rho^2$.
• Dimenticare il jacobiano ($\rho$ in cilindriche, $\rho^2\sin\varphi$ in sferiche).
• Applicare Huygens-Steiner fra due assi che non passano per il baricentro: il teorema collega un asse per $G$ a uno parallelo; fra due assi qualsiasi si passa per $G$ ($I_{r_2}=I_{r_1}-Md_1^2+Md_2^2$).
• Scambiare il segno dei momenti di deviazione nel tensore: sono $-\iiint\mu xy$, fuori dalla diagonale; i diagonali sono positivi.
• Credere che $I$ dipenda solo da $M$ e dal raggio: cambia con la distribuzione (sfera piena $\frac25MR^2$, guscio $\frac23MR^2$).

Esercizi svolti: Esercizio - volano a corona in acciaio, massa, momento d'inerzia ed energia, Esercizio - cono pieno, baricentro e momenti d'inerzia con Huygens-Steiner, Esercizio - cubo omogeneo, tensore d'inerzia in un vertice e assi principali, Esercizio - sfera a densità decrescente, massa e momento d'inerzia, Esercizio - baricentro e momento d'inerzia di un arco di circonferenza e di astroide (lezioni 4 e 5), Esercizio - Solido di rotazione fra cono e iperboloide, volume e baricentro (appello 5 settembre 2023).

Domande d'esame

1. Definire il momento d'inerzia di un solido rispetto a una retta e ricavare l'energia cinetica di rotazione. Traccia. $I_r=\iiint\delta^2\mu$; velocità $\omega\delta$; $T=\frac12I_r\omega^2$.
2. Enunciare e dimostrare il teorema di Huygens-Steiner. Traccia. Origine in $G$; $\delta_r^2=|\underline x_\perp|^2-2\underline x_\perp\cdot\underline d+d^2$; il termine misto è nullo perché $\iiint\mu\underline x=\underline0$.
3. Che cos'è il tensore d'inerzia e come si ricava da esso il momento rispetto a una retta per l'origine? Traccia. $J=\iiint\mu(|\underline x|^2\mathrm{Id}-\underline x\underline x^{\mathsf T})$; $\delta^2=|\underline x|^2-(\underline x\cdot\underline n)^2$; $I_{\underline n}=\underline n\cdot J\underline n$.
4. Calcolare il momento d'inerzia di una sfera omogenea rispetto a un diametro. Traccia. Sferiche: $\mu\cdot2\pi\cdot\frac43\cdot\frac{R^5}5=\frac25MR^2$.