Esercizio - punto su un filo elicoidale a velocità variabile, forze tangenziale e normale

Teoria: Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazioPer una curva regolare di R^3 con curvatura κ ≠ 0 si ha la terna ortonormale destra (T, N, B) con B = T ∧ N (binormale). I piani osculatore (T, N), normale (N, B) e rettificante (T, B) passano per il punto. Formule di Frenet-Serret (D), in ascissa curvilinea: T' = κN, N' = −κT + τB, B' = −τN; τ è la torsione. In un parametro qualsiasi: B = (r' ∧ r'')/|r' ∧ r''|, κ = |r' ∧ r''|/|r'|³, τ = (r' ∧ r'')·r'''/|r' ∧ r''|² (D). La curva è piana se e solo se τ ≡ 0 (D). Elica (R cos t, R sin t, kt): κ = R/(R²+k²), τ = k/(R²+k²). L'accelerazione sta sempre nel piano osculatore: a = v'T + κv²N.Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazio →, Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea → (componenti dell'accelerazione).

Testo. Una perlina di massa $m=0{,}5$ kg scorre su un filo liscio a forma di elica e il suo moto è $\underline r(t)=(\cos t^2,\ \sin t^2,\ t^2)$ (metri, $t$ in secondi, $t\ge0$).

1. Calcolare velocità scalare, componente tangenziale e normale dell'accelerazione al variare di $t$.
2. Calcolare curvatura e torsione del filo e confrontarle con quelle della curva percorsa con parametro $u=t^2$.
3. Calcolare le componenti tangenziale e normale della forza risultante in $t=1$ s e la lunghezza di filo percorsa fra $t=0$ e $t=1$.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

Velocità. Con $u=t^2$ (derivata $2t$): $$\underline r'(t)=2t\big(-\sin t^2,\ \cos t^2,\ 1\big),\qquad v=|\underline r'|=2t\sqrt{\sin^2t^2+\cos^2t^2+1}=2\sqrt2\,t .$$ La velocità scalare cresce linearmente: $a_T=v'=2\sqrt2$ costante.

Accelerazione. Derivando ancora, $$\underline r''=2\big(-\sin t^2,\cos t^2,1\big)+2t\cdot2t\big(-\cos t^2,-\sin t^2,0\big)=\big(-2\sin t^2-4t^2\cos t^2,\ \ 2\cos t^2-4t^2\sin t^2,\ \ 2\big).$$ Il quadrato del modulo: nelle prime due componenti i termini incrociati si cancellano ($16t^2\sin t^2\cos t^2-16t^2\sin t^2\cos t^2=0$) e $$|\underline r''|^2=4+16t^4+4=8+16t^4 .$$

1. Componenti. Da $|\underline r''|^2=a_T^2+a_N^2$: $$a_T=v'=2\sqrt2,\qquad a_N^2=8+16t^4-8=16t^4,\qquad a_N=4t^2 .$$ (Verifica di $a_T$ con la formula $a_T=\frac{\underline r'\cdot\underline r''}{|\underline r'|}$: con $s=\sin t^2$ e $c=\cos t^2$ si ha $(-s,c,1)\cdot\underline r''=2s^2+4t^2sc+2c^2-4t^2sc+2=4$, quindi $\underline r'\cdot\underline r''=2t\cdot4=8t$ e $a_T=\frac{8t}{2\sqrt2\,t}=2\sqrt2$ ✓.)

2. Curvatura e torsione. Dalla relazione $a_N=\kappa v^2$, $$\kappa=\frac{a_N}{v^2}=\frac{4t^2}{8t^2}=\frac12\ \text{m}^{-1}.$$ È proprio la curvatura dell'elica $(\cos u,\sin u,u)$, che è $\frac{R}{R^2+k^2}=\frac12$ con $R=k=1$, e la torsione è $\tau=\frac k{R^2+k^2}=\frac12$ m$^{-1}$: la curvatura e la torsione dipendono solo dalla forma del filo, non da come lo si percorre. Cambiare il parametro da $u$ a $t^2$ cambia la velocità scalare e l'accelerazione, non $\kappa$ e $\tau$ (che sono invarianti per riparametrizzazione crescente). Il filo ha raggio di curvatura $2$ m, doppio del raggio $R=1$ m della sua proiezione.

3. Forze in $t=1$ s. $v=2\sqrt2\approx2{,}83$ m/s, $a_T=2\sqrt2\approx2{,}83$ m/s$^2$, $a_N=4$ m/s$^2$, $|\underline a|=\sqrt{24}\approx4{,}90$ m/s$^2$. Per il secondo principio la risultante vale $m\underline a$ e sta nel piano osculatore: $$F_T=ma_T=0{,}5\cdot2\sqrt2=\sqrt2\approx1{,}41\ \text{N},\qquad F_N=ma_N=0{,}5\cdot4=2\ \text{N},\qquad F_B=0,$$ $$|\underline F|=\sqrt{F_T^2+F_N^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt6\approx2{,}45\ \text{N}\ \ (=m|\underline a|=0{,}5\cdot\sqrt{24}).$$ La componente normale (di $2$ N, diretta verso l'asse dell'elica) è la forza centripeta che curva la traiettoria; la componente tangenziale $F_T$ è quella che fa aumentare la velocità. La componente della risultante lungo $\underline B$ è nulla perché l'accelerazione sta nel piano osculatore: eventuali forze lungo la binormale (per esempio una parte del peso) sono equilibrate dalla reazione del filo. Lunghezza percorsa. $s=\int_0^1v\,dt=\int_0^12\sqrt2\,t\,dt=\sqrt2\approx1{,}41$ m. (Coincide con $\int_0^1|\underline r'(u)|\,du$ per l'elica con $u=t^2\in[0,1]$: $\sqrt{R^2+k^2}\cdot1=\sqrt2$ ✓.)

Errori tipici. Calcolare $a_N$ come $|\underline r''|$ (sbagliato: $|\underline r''|=\sqrt{24}$ in $t=1$, mentre $a_N=4$); usare $a_T=|\underline r''|$; credere che $\kappa$ dipenda da $t$ perché dipende dalla velocità; dimenticare il fattore $2t$ della regola della catena nella derivata prima.