Esercizio - prodotto xyz su una palla, estremi assoluti su un solido

Teoria: Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superficiIn R^3 il vincolo è una superficie g(x,y,z) = b oppure una curva intersezione di due superfici g1 = b1, g2 = b2. Una superficie: se P è estremo vincolato e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P) (D). Una curva: se ∇g1(P) e ∇g2(P) sono linearmente indipendenti (∇g1 ∧ ∇g2 ≠ 0) allora ∇f(P) = λ1∇g1(P) + λ2∇g2(P) (D): due moltiplicatori, cinque equazioni in cinque incognite (x, y, z, λ1, λ2). Lagrangiana L = f + λ1(b1 − g1) + λ2(b2 − g2). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0, oppure gradienti paralleli), sistema di Lagrange, confronto (Weierstrass se il vincolo è compatto). Su un solido K si studiano interno (∇f = 0), facce (Lagrange o parametrizzazione), spigoli e vertici. Il moltiplicatore λ misura quanto cambia il valore ottimo al variare di b.Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superfici →, Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →.

Testo. Trovare massimo e minimo assoluti di $f(x,y,z)=xyz$ sulla palla $K=\{x^2+y^2+z^2\le3\}$ e dedurne il volume massimo di un parallelepipedo inscritto in una sfera di raggio $\sqrt3$.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

$f$ è continua e $K$ è chiusa e limitata: per Weierstrass massimo e minimo assoluti esistono. Si studiano interno e bordo (superficie sferica).

Interno. $\nabla f=(yz,\ xz,\ xy)=\underline0$ se e solo se almeno due coordinate sono nulle: i tre assi coordinati. Su tutti questi punti $f=0$ (stanno nell'interno di $K$ quelli degli assi a distanza minore di $\sqrt3$ dall'origine).

Bordo $\Sigma=\{g=x^2+y^2+z^2=3\}$. $\nabla g=(2x,2y,2z)\ne\underline0$ su $\Sigma$: nessun punto singolare. Il sistema $\nabla f=\lambda\nabla g$: $$yz=2\lambda x,\qquad xz=2\lambda y,\qquad xy=2\lambda z,\qquad x^2+y^2+z^2=3 .$$ Moltiplicando la prima per $x$, la seconda per $y$, la terza per $z$ si ottiene $$xyz=2\lambda x^2=2\lambda y^2=2\lambda z^2 .$$

• Caso $xyz\neq0$. Allora $\lambda\ne0$ e $x^2=y^2=z^2$; dal vincolo $3x^2=3$, $x^2=y^2=z^2=1$. Sono gli $8$ punti $(\pm1,\pm1,\pm1)$, con $f=xyz=+1$ se il numero di segni meno è pari (quattro punti: $(1,1,1)$, $(1,-1,-1)$, $(-1,1,-1)$, $(-1,-1,1)$) e $f=-1$ se è dispari (gli altri quattro).
• Caso $xyz=0$. Il prodotto vale $0$, quindi $2\lambda x^2=2\lambda y^2=2\lambda z^2=0$. Se fosse $\lambda\ne0$ si avrebbe $x=y=z=0$, non sul bordo. Quindi $\lambda=0$, e le equazioni dànno $yz=xz=xy=0$: due coordinate nulle. Sono i sei punti $(\pm\sqrt3,0,0)$, $(0,\pm\sqrt3,0)$, $(0,0,\pm\sqrt3)$, con $f=0$.

Confronto. I valori candidati sono $1$, $-1$ e $0$. Quindi $$\max_Kf=1\ \text{nei quattro punti }(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),\qquad\min_Kf=-1\ \text{negli altri quattro vertici}.$$ Entrambi sono assunti sul bordo; nell'interno $f$ vale $0$ nei punti critici ed è quindi ovunque compresa fra $-1$ e $1$.

Parallelepipedo inscritto. Un parallelepipedo con le facce parallele ai piani coordinati, centrato nell'origine e con un vertice in $(x,y,z)$ sulla sfera, ha volume $V=(2x)(2y)(2z)=8xyz$ per $x,y,z>0$. Il massimo di $xyz$ è $1$: $V_{\max}=8$, il cubo di spigolo $2$ (diagonale $2\sqrt3$ = diametro ✓). In generale, in una sfera di raggio $r$, $V_{\max}=\frac{8r^3}{3\sqrt3}$ (per $r=\sqrt3$: $\frac{8\cdot3\sqrt3}{3\sqrt3}=8$ ✓).

Errori tipici. Non esaminare l'interno (qui dà solo $f=0$, ma in altri problemi il massimo è interno); dividere per $x$, $y$ o $z$ nel sistema, perdendo i punti con una coordinata nulla; dimenticare che il minimo è negativo e coincide con il massimo di $-f$.