Esercizio - curva piana nello spazio, cilindro e piano, torsione nulla

Teoria: Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazioPer una curva regolare di R^3 con curvatura κ ≠ 0 si ha la terna ortonormale destra (T, N, B) con B = T ∧ N (binormale). I piani osculatore (T, N), normale (N, B) e rettificante (T, B) passano per il punto. Formule di Frenet-Serret (D), in ascissa curvilinea: T' = κN, N' = −κT + τB, B' = −τN; τ è la torsione. In un parametro qualsiasi: B = (r' ∧ r'')/|r' ∧ r''|, κ = |r' ∧ r''|/|r'|³, τ = (r' ∧ r'')·r'''/|r' ∧ r''|² (D). La curva è piana se e solo se τ ≡ 0 (D). Elica (R cos t, R sin t, kt): κ = R/(R²+k²), τ = k/(R²+k²). L'accelerazione sta sempre nel piano osculatore: a = v'T + κv²N.Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazio →, Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →.

Testo. Il cilindro $x^2+y^2=1$ è tagliato dal piano $z=x+y$. La curva intersezione è parametrizzata da $\gamma(t)=(\cos t,\ \sin t,\ \cos t+\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$.

1. Calcolare $\gamma'\wedge\gamma''$, la binormale e la torsione, e spiegare il risultato.
2. Calcolare la curvatura in funzione di $t$ e trovarne massimo e minimo.
3. Nel punto $t=\frac\pi4$ scrivere il triedro di Frenet.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

Derivate. $$\gamma'=(-\sin t,\ \cos t,\ \cos t-\sin t),\qquad\gamma''=(-\cos t,\ -\sin t,\ -\sin t-\cos t),\qquad\gamma'''=(\sin t,\ -\cos t,\ -\cos t+\sin t)=-\gamma' .$$

1. Binormale e torsione. $$\underline c=\gamma'\wedge\gamma''=\Big(\cos t(-\sin t-\cos t)-(\cos t-\sin t)(-\sin t),\ \ (\cos t-\sin t)(-\cos t)-(-\sin t)(-\sin t-\cos t),\ \ \sin^2t+\cos^2t\Big).$$ Prima componente: $-\sin t\cos t-\cos^2t+\sin t\cos t-\sin^2t=-1$. Seconda: $-\cos^2t+\sin t\cos t-\sin^2t-\sin t\cos t=-1$. Terza: $1$. Quindi $$\underline c=(-1,\ -1,\ 1)\quad\text{costante},\qquad|\underline c|=\sqrt3,\qquad\underline B=\frac{(-1,-1,1)}{\sqrt3}\ \text{costante}.$$ Poiché $\gamma'''=-\gamma'$, $\underline c\cdot\gamma'''=-\underline c\cdot\gamma'=0$ (il prodotto vettoriale è ortogonale a $\gamma'$), e quindi $$\tau=\frac{\underline c\cdot\gamma'''}{|\underline c|^2}=0\quad\text{per ogni }t .$$ Spiegazione. La binormale è costante, uguale al versore normale del piano $x+y-z=0$: la curva giace nel piano $z=x+y$ (è un'ellisse, come ogni sezione piana di un cilindro) e il piano osculatore coincide in ogni punto con questo piano. Per il teorema "piana $\iff\tau\equiv0$" è ciò che ci si aspettava. Il segno di $\underline B$ dipende dal verso di percorrenza.

2. Curvatura. $|\gamma'|^2=\sin^2t+\cos^2t+(\cos t-\sin t)^2=2-2\sin t\cos t=2-\sin2t$. Quindi $$\kappa(t)=\frac{|\underline c|}{|\gamma'|^3}=\frac{\sqrt3}{(2-\sin2t)^{3/2}} .$$ Poiché $2-\sin2t\in[1,3]$:

• massimo $\kappa=\sqrt3$ per $\sin2t=1$, cioè $t=\frac\pi4,\frac{5\pi}4$, nei punti $\pm\big(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,\sqrt2\big)$;
• minimo $\kappa=\frac{\sqrt3}{3^{3/2}}=\frac13$ per $\sin2t=-1$, cioè $t=\frac{3\pi}4,\frac{7\pi}4$, nei punti $\pm\big(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,0\big)$.

Controllo geometrico. La distanza dall'origine al quadrato è $x^2+y^2+z^2=1+(x+y)^2=1+(\cos t+\sin t)^2\in[1,3]$: l'ellisse ha semiassi $b=1$ e $a=\sqrt3$. La curvatura di un'ellisse è massima agli estremi dell'asse maggiore, dove vale $\frac a{b^2}=\sqrt3$, e minima agli estremi dell'asse minore, dove vale $\frac b{a^2}=\frac13$ ✓ (i punti sono quelli a distanza $\sqrt3$ e $1$ dall'origine).

3. Il punto $t=\frac\pi4$. $\gamma\big(\frac\pi4\big)=\big(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,\sqrt2\big)$, $\gamma'=\big(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,0\big)$ con $|\gamma'|=1$, $\gamma''=\big(-\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2,-\sqrt2\big)$ con $|\gamma''|=\sqrt{\frac12+\frac12+2}=\sqrt3$. Qui $\gamma'\cdot\gamma''=\frac12-\frac12+0=0$: l'accelerazione è tutta normale ($a_T=0$, $a_N=\kappa v^2=\sqrt3$ ✓), quindi $$\underline T=\Big(-\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,0\Big),\qquad\underline N=\frac{\gamma''}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\Big(-\tfrac{\sqrt2}2,-\tfrac{\sqrt2}2,-\sqrt2\Big),\qquad\underline B=\underline T\wedge\underline N=\frac{(-1,-1,1)}{\sqrt3}.$$ (Verifica: $\underline T\wedge\underline N=\frac1{\sqrt3}\big(\frac{\sqrt2}2(-\sqrt2)-0,\ \ 0-(-\frac{\sqrt2}2)(-\sqrt2),\ \ \frac12+\frac12\big)=\frac1{\sqrt3}(-1,-1,1)$ ✓.) Il vettore $\underline N$ punta verso l'interno dell'ellisse, verso il suo centro: l'origine, perché $\gamma(t+\pi)=-\gamma(t)$.

Errori tipici. Concludere che la curva è piana senza verificare $\tau\equiv0$ lungo tutta la curva, oppure dedurre $\tau=0$ da un solo punto; dimenticare di elevare a $\frac32$ il denominatore; scrivere $|\gamma'|=1$ per ogni $t$ (vale solo in $t=\frac\pi4,\frac{5\pi}4$).