Esercizio - cubo omogeneo, tensore d'inerzia in un vertice e assi principali

Teoria: Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripliUn corpo E con densità μ ha massa M = ∭μ e baricentro B = (1/M)∭ x μ. Il momento d'inerzia rispetto a una retta r è I_r = ∭ δ² μ (δ = distanza da r) e l'energia cinetica di rotazione è ½ I_r ω². Il tensore d'inerzia J = ∭ μ (|x|² E − x xᵀ) è simmetrico e dà I_n = n·Jn per la retta per l'origine di direzione n (D); i suoi autovettori sono gli assi principali. Huygens-Steiner (D): I_r = I_G + M d². Corpi di rotazione: I_z = (πμ/2)∫ r(z)⁴ dz. Risultati: cilindro ½MR², cilindro cavo ½M(R₁² + R₂²), sfera (2/5)MR², cono (3/10)MR², guscio sferico (2/3)MR², parallelepipedo M(a² + b²)/12.Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripli →, DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →.

Testo. Un cubo omogeneo di spigolo $a$ e massa $M$ occupa $[0,a]^3$. Sia $O=(0,0,0)$ un vertice.

1. Calcolare il tensore d'inerzia $J$ rispetto a $O$.
2. Ricavare i momenti rispetto a uno spigolo, a una diagonale di faccia e alla diagonale del cubo (tutte rette per $O$).
3. Verificare i risultati con il teorema di Huygens-Steiner, sapendo che rispetto al baricentro $J_G=\frac{Ma^2}6\mathrm{Id}$.
4. Trovare gli assi principali d'inerzia in $O$ e i momenti principali.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

1. Il tensore. La densità è $\mu=\frac M{a^3}$. Gli integrali che servono sono $$\iiint x^2\mu=\mu\cdot\frac{a^3}3\cdot a\cdot a=\frac{Ma^2}3,\qquad\iiint xy\,\mu=\mu\cdot\frac{a^2}2\cdot\frac{a^2}2\cdot a=\frac{Ma^2}4 ,$$ e lo stesso per le altre coordinate. Quindi $$J_{xx}=J_{yy}=J_{zz}=\iiint(y^2+z^2)\mu=\frac{2Ma^2}3,\qquad J_{xy}=J_{xz}=J_{yz}=-\iiint xy\,\mu=-\frac{Ma^2}4,$$ $$J=Ma^2\begin{pmatrix}\frac23&-\frac14&-\frac14\\-\frac14&\frac23&-\frac14\\-\frac14&-\frac14&\frac23\end{pmatrix}.$$

2. Tre momenti. Si usa $I_{\underline n}=\underline n\cdot J\underline n$.

• Spigolo $\underline n=(1,0,0)$: $I=J_{xx}=\frac23Ma^2$.
• Diagonale di faccia $\underline n=\frac{(1,1,0)}{\sqrt2}$: $I=\frac12\big(J_{xx}+J_{yy}+2J_{xy}\big)=\frac12Ma^2\Big(\frac43-\frac12\Big)=\frac5{12}Ma^2$.
• Diagonale del cubo $\underline n=\frac{(1,1,1)}{\sqrt3}$: $I=\frac13\big(\text{somma di tutti gli elementi}\big)=\frac13Ma^2\Big(3\cdot\frac23-6\cdot\frac14\Big)=\frac13Ma^2\cdot\frac12=\frac{Ma^2}6$.

3. Verifica con Huygens-Steiner. Il baricentro è $G=\big(\frac a2,\frac a2,\frac a2\big)$ e $I_G=\frac{Ma^2}6$ per ogni direzione.

• Spigolo: la retta per $G$ parallela allo spigolo $x$ dista da esso $\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=\frac a{\sqrt2}$; $I=\frac{Ma^2}6+M\frac{a^2}2=\frac23Ma^2$ ✓.
• Diagonale di faccia $\underline n=\frac{(1,1,0)}{\sqrt2}$: la componente di $\overrightarrow{OG}$ ortogonale a $\underline n$ è $\overrightarrow{OG}-(\overrightarrow{OG}\cdot\underline n)\underline n=\big(\frac a2,\frac a2,\frac a2\big)-\big(\frac a2,\frac a2,0\big)=\big(0,0,\frac a2\big)$, distanza $\frac a2$: $I=\frac{Ma^2}6+M\frac{a^2}4=\frac5{12}Ma^2$ ✓.
• Diagonale del cubo: passa per $G$, $d=0$ e $I=\frac{Ma^2}6$ ✓.

4. Assi principali in $O$. Si scrive $J=Ma^2\Big[\frac{11}{12}\mathrm{Id}-\frac14\,\mathbf{1}\Big]$, con $\mathbf{1}$ la matrice con tutti gli elementi uguali a $1$ (infatti $\frac23=\frac{11}{12}-\frac14$ sulla diagonale e $-\frac14$ fuori). La matrice $\mathbf{1}$ ha autovalore $3$ sul vettore $(1,1,1)$ e $0$ sul piano ortogonale. Quindi:

• asse $(1,1,1)$ (la diagonale del cubo): autovalore $Ma^2\big(\frac{11}{12}-\frac34\big)=\frac{Ma^2}6$ (il minimo);
• ogni asse ortogonale alla diagonale (il piano $x+y+z=0$): autovalore doppio $\frac{11}{12}Ma^2$ (il massimo).

Controlli. La traccia: $\frac16+\frac{11}{12}+\frac{11}{12}=2$, uguale a $J_{xx}+J_{yy}+J_{zz}=3\cdot\frac23=2$ ✓. Lo spigolo ($\frac23Ma^2\approx0{,}667\,Ma^2$) e la diagonale di faccia ($\frac5{12}\approx0{,}417$) sono compresi fra i momenti principali $\frac16\approx0{,}167$ e $\frac{11}{12}\approx0{,}917$ ✓. In $O$ il cubo si comporta come un corpo con simmetria assiale attorno alla diagonale, anche se non è di rotazione: per questo gli autovalori sono due uguali.

Errori tipici. Segno sbagliato dei momenti di deviazione ($J_{xy}=-\iiint\mu xy$, negativo); calcolare $\iiint xy\mu$ come $\frac{Ma^2}3$ (è il valore di $\iiint x^2\mu$: $xy$ si fattorizza in $\frac a2\cdot\frac a2$); applicare Huygens da $O$ a una retta che non è parallela ad una per $G$.