Esercizio - variazione delle costanti con forzante 1 su coseno

Teoria: Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costantiPer y' = A(t)y + g(t) di dimensione n una matrice fondamentale Φ(t) ha per colonne n soluzioni indipendenti (D: lo sono se e solo se det Φ(t₀) ≠ 0); l'integrale generale dell'omogeneo è y = Φ(t)c. Con A costante: se Ah = λh, e^(λt)h è soluzione; autovalori complessi λ = μ + iω danno parte reale e immaginaria di e^(λt)h; autovalore non diagonalizzabile: e^(λt)(h₂ + t h₁); l'esponenziale e^(tA) = Σ tᵏAᵏ/k! risolve y(t₀) = y₀ con y = e^((t−t₀)A)y₀. Variazione delle costanti (D): y = Φ(t)Φ(t₀)⁻¹y₀ + Φ(t)∫Φ(s)⁻¹g(s)ds, per A costante y = e^((t−t₀)A)y₀ + ∫e^((t−s)A)g(s)ds. Sistemi massa-molla x'' = −Kx: modi normali, pulsazioni ω_j² = autovalori di K, battimenti. Stabilità: Re λ < 0 per ogni autovalore dà y → 0.Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costanti →, Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo. Un oscillatore armonico è sollecitato da una forza $g(t)=\frac1{\cos t}$, per $t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$: $$x''+x=\frac1{\cos t},\qquad x(0)=0,\ x'(0)=0 .$$

1. Spiegare perché il metodo di somiglianza non si applica.
2. Scrivere il sistema del primo ordine e risolverlo con la formula di variazione delle costanti.
3. Descrivere il comportamento della soluzione per $t\to\frac\pi2^-$.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

1. La somiglianza vale per termini noti polinomiali, esponenziali, seni e coseni (e loro prodotti): $\frac1{\cos t}$ non è di questo tipo, e derivandola non si ottiene uno spazio finito di funzioni. Si usa la formula generale.

2. Sistema. Con $\underline y=(x,v)$, $v=x'$: $$\underline y'=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\underline y+\begin{pmatrix}0\\g(t)\end{pmatrix},\qquad\underline y(0)=(0,0).$$ L'esponenziale di $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ è la rotazione $e^{tA}=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ (da $A^2=-\mathrm{Id}$). Con dato iniziale nullo la formula dà $$\underline y(t)=\int_0^te^{(t-s)A}\begin{pmatrix}0\\g(s)\end{pmatrix}ds=\int_0^t\begin{pmatrix}\sin(t-s)\,g(s)\\ \cos(t-s)\,g(s)\end{pmatrix}ds .$$ La prima componente è la soluzione cercata: $$x(t)=\int_0^t\frac{\sin(t-s)}{\cos s}\,ds .$$ Si sviluppa $\sin(t-s)=\sin t\cos s-\cos t\sin s$: $$x(t)=\sin t\int_0^t1\,ds-\cos t\int_0^t\frac{\sin s}{\cos s}\,ds=t\sin t-\cos t\,\big[-\ln\cos s\big]_0^t=t\sin t+\cos t\,\ln\cos t ,$$ perché $\int\tan s\,ds=-\ln\cos s$ (per $|s|<\frac\pi2$, $\cos s>0$). La derivata è la seconda componente: $$v(t)=\int_0^t\frac{\cos(t-s)}{\cos s}\,ds=\cos t\int_0^t1\,ds+\sin t\int_0^t\tan s\,ds=t\cos t-\sin t\,\ln\cos t .$$ $$\boxed{x(t)=t\sin t+\cos t\,\ln\cos t,\qquad x'(t)=t\cos t-\sin t\,\ln\cos t}$$

Verifica. $x(0)=0$ e $x'(0)=0-0=0$ ✓. Derivando direttamente $x$: $x'=\sin t+t\cos t-\sin t\ln\cos t+\cos t\cdot\frac{-\sin t}{\cos t}=t\cos t-\sin t\ln\cos t$ ✓; $x''=\cos t-t\sin t-\cos t\ln\cos t-\sin t\cdot\frac{-\sin t}{\cos t}$, quindi $x''+x=\cos t+\frac{\sin^2t}{\cos t}=\frac1{\cos t}$ ✓.

3. Per $t\to\frac\pi2^-$. $\cos t\to0^+$ e $\cos t\ln\cos t\to0$ (limite notevole), quindi $x(t)\to\frac\pi2\cdot1=\frac\pi2$: la posizione resta finita. Invece $x'(t)=t\cos t-\sin t\ln\cos t\to+\infty$, perché $\ln\cos t\to-\infty$ e $\sin t\to1$: la velocità diverge (lentamente, come $-\ln\cos t$), perché la forza $\frac1{\cos t}$ non è integrabile in $\frac\pi2$ (cresce come $\frac1{\frac\pi2-t}$). La soluzione non si prolunga oltre $\frac\pi2$ come soluzione regolare: l'intervallo massimale è $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$, quello su cui $g$ è continua, come prevede il teorema di esistenza globale per i sistemi lineari.

Errori tipici. Scrivere $e^{(s-t)A}$ al posto di $e^{(t-s)A}$ (segno del seno cambiato); dimenticare che $\int\tan s\,ds=-\ln\cos s$ e non $\ln\cos s$; applicare la somiglianza al termine $\frac1{\cos t}$.