Esercizio - due masse e tre molle, modi normali e battimenti

Teoria: Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costantiPer y' = A(t)y + g(t) di dimensione n una matrice fondamentale Φ(t) ha per colonne n soluzioni indipendenti (D: lo sono se e solo se det Φ(t₀) ≠ 0); l'integrale generale dell'omogeneo è y = Φ(t)c. Con A costante: se Ah = λh, e^(λt)h è soluzione; autovalori complessi λ = μ + iω danno parte reale e immaginaria di e^(λt)h; autovalore non diagonalizzabile: e^(λt)(h₂ + t h₁); l'esponenziale e^(tA) = Σ tᵏAᵏ/k! risolve y(t₀) = y₀ con y = e^((t−t₀)A)y₀. Variazione delle costanti (D): y = Φ(t)Φ(t₀)⁻¹y₀ + Φ(t)∫Φ(s)⁻¹g(s)ds, per A costante y = e^((t−t₀)A)y₀ + ∫e^((t−s)A)g(s)ds. Sistemi massa-molla x'' = −Kx: modi normali, pulsazioni ω_j² = autovalori di K, battimenti. Stabilità: Re λ < 0 per ogni autovalore dà y → 0.Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costanti →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →.

Testo. Due carrelli uguali di massa $m=1$ kg si muovono su una guida liscia. Ciascuno è collegato a una parete da una molla di costante $k=9$ N/m e i due sono collegati fra loro da una molla di costante $k_c=1$ N/m. Siano $x_1,x_2$ gli spostamenti dalla posizione di equilibrio.

1. Scrivere le equazioni del moto e il sistema del primo ordine ($4\times4$).
2. Trovare modi normali e pulsazioni proprie.
3. Risolvere con $x_1(0)=0{,}02$ m, $x_2(0)=0$, velocità iniziali nulle.
4. Dopo quanto tempo l'energia è passata (quasi) tutta al secondo carrello?

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

1. Equazioni. Sul primo carrello agiscono la molla di parete ($-kx_1$) e la molla di collegamento, che si allunga di $x_2-x_1$ ($+k_c(x_2-x_1)$); simmetricamente sul secondo: $$mx_1''=-kx_1+k_c(x_2-x_1),\qquad mx_2''=-kx_2-k_c(x_2-x_1).$$ Con $m=1$: $\underline x''=-K\underline x$ con $$K=\begin{pmatrix}k+k_c&-k_c\\-k_c&k+k_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&-1\\-1&10\end{pmatrix}.$$ Con $\underline y=(x_1,x_2,v_1,v_2)$: $$\underline y'=\begin{pmatrix}0&\mathrm{Id}\\-K&0\end{pmatrix}\underline y .$$

2. Modi normali. Gli autovalori di $K$: $\det(K-\omega^2\mathrm{Id})=(10-\omega^2)^2-1=0$ dà $\omega^2=9$ e $\omega^2=11$.

• $\omega_1^2=9$, $\omega_1=3$ rad/s: autovettore $\underline u_1=\frac{(1,1)}{\sqrt2}$. Le due masse si muovono in fase; la molla di collegamento non si deforma, quindi la pulsazione è $\sqrt{k/m}=3$.
• $\omega_2^2=11$, $\omega_2=\sqrt{11}\approx3{,}317$ rad/s: autovettore $\underline u_2=\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$. Le masse si muovono in opposizione di fase; la molla di collegamento lavora il doppio: $\omega^2=\frac{k+2k_c}m=11$.

Gli autovalori del sistema $4\times4$ sono $\pm3i$ e $\pm i\sqrt{11}$: nessuna parte reale, oscillazioni senza smorzamento.

3. Soluzione. Per il teorema sui sistemi massa-molla, $\underline x=\sum_j(a_j\cos\omega_jt+b_j\sin\omega_jt)\underline u_j$. Velocità iniziali nulle $\Rightarrow b_j=0$. Il dato $\underline x(0)=(0{,}02,0)$ si scrive $(0{,}02,0)=0{,}01(1,1)+0{,}01(1,-1)$, quindi le due componenti modali valgono ciascuna $0{,}01$ (in unità di $(1,\pm1)$): $$x_1(t)=0{,}01\big(\cos3t+\cos\sqrt{11}\,t\big),\qquad x_2(t)=0{,}01\big(\cos3t-\cos\sqrt{11}\,t\big).$$ Verifica: $x_1(0)=0{,}02$, $x_2(0)=0$, $x_1'(0)=x_2'(0)=0$; e $x_1''+10x_1-x_2=0{,}01\big[-9\cos3t-11\cos\sqrt{11}t+10\cos3t+10\cos\sqrt{11}t-\cos3t+\cos\sqrt{11}t\big]=0$ ✓ (analogo per $x_2$).

Battimenti. Con la formula di prostaferesi $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha-\beta}2\cos\frac{\alpha+\beta}2$ e $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha-\beta}2\sin\frac{\alpha+\beta}2$: $$x_1(t)=0{,}02\cos(\Delta t)\cos(\bar\omega t),\qquad x_2(t)=0{,}02\sin(\Delta t)\sin(\bar\omega t),$$ con $\Delta=\frac{\sqrt{11}-3}2\approx0{,}1583$ rad/s e $\bar\omega=\frac{\sqrt{11}+3}2\approx3{,}158$ rad/s. Il moto è un'oscillazione veloce (pulsazione $\bar\omega\approx3{,}16$, periodo $\approx1{,}99$ s) con ampiezze lente $|\cos\Delta t|$ per il primo carrello e $|\sin\Delta t|$ per il secondo.

4. Trasferimento di energia. L'ampiezza del primo carrello si annulla e quella del secondo è massima quando $\Delta t=\frac\pi2$: $$t=\frac{\pi}{2\Delta}=\frac{\pi}{\sqrt{11}-3}\approx9{,}92\ \text{s}.$$ Il periodo dell'inviluppo (lo scambio completo andata e ritorno) è $\frac{2\pi}{\Delta}\approx39{,}7$ s. Più debole è l'accoppiamento ($k_c\to0$), più $\omega_1$ e $\omega_2$ sono vicine e più lento è il trasferimento: per $k_c\to0$ i due carrelli sono indipendenti con la stessa pulsazione $\sqrt{k/m}$.

Errori tipici. Scrivere la molla di collegamento con il segno sbagliato ($k_c(x_1-x_2)$ sul primo carrello); confondere $\omega^2$ con $\omega$ (gli autovalori di $K$ sono $\omega^2$); dimenticare che nel sistema del primo ordine gli autovalori sono $\pm i\omega$.