Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazio

Nel piano una curva è descritta, a meno di movimenti rigidi, dalla sua curvatura. Nello spazio la curva può anche uscire dal piano che la approssima meglio in un punto: la torsione misura quanto velocemente lo fa. È il caso del filo di una molla elicoidale, di un tubo che si avvita, della traiettoria di una vite che avanza, o di un punto materiale vincolato a un filo di forma qualunque. Prerequisiti: Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea → (ascissa curvilinea, versore tangente $\underline T$, curvatura $\kappa$ e normale principale $\underline N$), Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (derivata di una curva, prodotto vettoriale).

1. La terna di Frenet

Sia $\underline r : I\to\mathbb{R}^3$ una curva regolare di classe $C^3$ e $s$ l'ascissa curvilinea. Si ricordano il versore tangente $\underline T = \underline r'/|\underline r'|$ e, nei punti con $\kappa\ne0$, il versore normale principale $\underline N = \frac1\kappa\frac{d\underline T}{ds}$, ortogonale a $\underline T$ (perché $|\underline T|=1$ è costante).

Definizione (binormale). Nei punti con $\kappa\neq0$ il versore binormale è $$\underline B = \underline T\wedge\underline N .$$

Poiché $\underline T$ e $\underline N$ sono unitari e ortogonali, $\underline B$ è unitario (il modulo del prodotto vettoriale è $|\underline T||\underline N|\sin\frac\pi2=1$) ed è ortogonale a entrambi. Quindi $(\underline T,\underline N,\underline B)$ è una base ortonormale destra di $\mathbb{R}^3$ in ogni punto: il triedro di Frenet (o terna intrinseca), che "viaggia" lungo la curva. Il caso in cui $\kappa=0$ in un punto non permette di definire $\underline N$: lungo un tratto rettilineo il triedro non è definito.

Tre piani passano per un punto $P_0=\underline r(t_0)$ e prendono il nome dai due versori che li generano:

Il piano normale è il piano ortogonale alla curva. Il piano osculatore è il piano che meglio approssima la curva vicino a $P_0$: dalla formula di Taylor $\underline r(t_0+h)-\underline r(t_0)=\underline r'h+\underline r''\frac{h^2}2+\underline r'''\frac{h^3}6+o(h^3)$, i primi due termini giacciono nel piano generato da $\underline r'$ e $\underline r''$ (cioè $\underline T,\underline N$, v. sotto) e solo il terzo, di ordine $h^3$, ne esce con la componente $\underline r'''\cdot\underline B\,\frac{h^3}{6}$. Per un'altra scelta di piano per $P_0$ già il termine in $h^2$ ne esce.

Esempio (circonferenza). $\underline r(t)=(R\cos t,R\sin t,0)$: $\underline T=(-\sin t,\cos t,0)$, $\underline N=(-\cos t,-\sin t,0)$ (verso il centro), $\underline B=\underline T\wedge\underline N=(0,0,\sin^2t+\cos^2t)=(0,0,1)$ costante. Il piano osculatore è il piano $xy$ che contiene la curva.

2. Le formule di Frenet-Serret

Come variano i tre versori percorrendo la curva? Per definizione $\underline T'=\kappa\underline N$ (derivate rispetto a $s$). Per $\underline B'$ e $\underline N'$ vale il seguente risultato.

Teorema (D, formule di Frenet-Serret). Esiste una funzione $\tau(s)$, la torsione, tale che $$\begin{cases}\underline T' = \kappa\,\underline N\\ \underline N' = -\kappa\,\underline T + \tau\,\underline B\\ \underline B' = -\tau\,\underline N\end{cases}$$ (derivate rispetto all'ascissa curvilinea). In forma matriciale, la matrice dei coefficienti è antisimmetrica.

Dimostrazione. Passo 1: $\underline B'$ è parallelo a $\underline N$. Derivando $\underline B=\underline T\wedge\underline N$ con la regola di Leibniz, $$\underline B'=\underline T'\wedge\underline N+\underline T\wedge\underline N'=\kappa\,\underline N\wedge\underline N+\underline T\wedge\underline N'=\underline T\wedge\underline N' .$$ Un prodotto vettoriale è ortogonale a ciascun fattore, quindi $\underline B'\perp\underline T$. Inoltre $|\underline B|=1$ è costante, quindi (come per ogni versore) $\underline B'\perp\underline B$. L'unica direzione ortogonale sia a $\underline T$ sia a $\underline B$ è quella di $\underline N$: $\underline B'=-\tau\underline N$ per una funzione $\tau$ (il segno meno è una convenzione; equivale a $\tau=-\underline B'\cdot\underline N$). Passo 2: $\underline N'$. Poiché $(\underline T,\underline N,\underline B)$ è una base destra, $\underline N=\underline B\wedge\underline T$. Derivando, $$\underline N'=\underline B'\wedge\underline T+\underline B\wedge\underline T'=-\tau\,\underline N\wedge\underline T+\kappa\,\underline B\wedge\underline N=-\tau(-\underline B)+\kappa(-\underline T)=\tau\underline B-\kappa\underline T,$$ usando $\underline N\wedge\underline T=-\underline B$ e $\underline B\wedge\underline N=-\underline T$. $\blacksquare$

Significato. $\kappa$ dice quanto il triedro ruota attorno a $\underline B$ (cambia la direzione di $\underline T$ nel piano osculatore); $\tau$ dice quanto ruota attorno a $\underline T$ (il piano osculatore si inclina, perché $\underline B$ cambia). Se $\tau$ è nulla la binormale resta ferma: il piano osculatore non cambia.

3. Le formule in un parametro qualunque

Raramente si ha l'ascissa curvilinea. Le formule che servono nei problemi usano la parametrizzazione data, $v=|\underline r'|$.

Teorema (D). Se $\underline r$ è regolare di classe $C^3$ e $\underline r'\wedge\underline r''\ne\underline0$ (cioè $\kappa\ne0$), allora $$\underline B=\frac{\underline r'\wedge\underline r''}{|\underline r'\wedge\underline r''|},\qquad \kappa=\frac{|\underline r'\wedge\underline r''|}{|\underline r'|^3},\qquad \tau=\frac{(\underline r'\wedge\underline r'')\cdot\underline r'''}{|\underline r'\wedge\underline r''|^2}.$$

Dimostrazione. Si usa $d/dt=v\,d/ds$. Da $\underline r'=v\underline T$: $$\underline r''=v'\underline T+v\,\underline T_t=v'\underline T+\kappa v^2\underline N,$$ dove $\underline T_t=v\underline T_s=v\kappa\underline N$ (come nella nota sull'ascissa curvilinea). Quindi $$\underline r'\wedge\underline r''=v\underline T\wedge(v'\underline T+\kappa v^2\underline N)=\kappa v^3\,\underline T\wedge\underline N=\kappa v^3\,\underline B .$$ Poiché $\kappa v^3>0$ e $\underline B$ è unitario, si leggono $|\underline r'\wedge\underline r''|=\kappa v^3$ (da cui la curvatura) e $\underline B=\frac{\underline r'\wedge\underline r''}{|\underline r'\wedge\underline r''|}$. Derivando ancora $\underline r''$ e raccogliendo le componenti, $$\underline r'''=\big[v''-\kappa^2v^3\big]\underline T+\big[\kappa'v^2+3\kappa vv'\big]\underline N+\kappa\tau v^3\,\underline B$$ (l'ultimo termine viene da $\kappa v^2\,\underline N_t=\kappa v^2\cdot v(-\kappa\underline T+\tau\underline B)$; gli altri non servono). Il prodotto scalare con $\underline r'\wedge\underline r''=\kappa v^3\underline B$ seleziona la sola componente lungo $\underline B$: $$(\underline r'\wedge\underline r'')\cdot\underline r'''=\kappa v^3\cdot\kappa\tau v^3=\kappa^2\tau v^6=\tau\,|\underline r'\wedge\underline r''|^2 .\qquad\blacksquare$$

In particolare $\underline r'''\cdot\underline B=\kappa\tau v^3$: il termine di ordine $h^3$ con cui la curva esce dal piano osculatore è proporzionale a $\kappa\tau$.

Da questa dimostrazione si ricava un fatto utile in meccanica: l'accelerazione $\underline r''=v'\underline T+\kappa v^2\underline N$ non ha componente lungo $\underline B$, cioè sta sempre nel piano osculatore. Per un punto di massa $m$ vincolato a un filo, la risultante delle forze è $m\underline a$ e quindi è anch'essa nel piano osculatore: la componente delle forze lungo $\underline B$ è sostenuta tutta dalla reazione del vincolo.

4. Il significato della torsione

Teorema (D). Una curva regolare con $\kappa\ne0$ ovunque è piana (contenuta in un piano) se e solo se $\tau\equiv0$.

Dimostrazione. ($\Rightarrow$) Se la curva sta in un piano di vettore normale $\underline n$ (unitario), allora $\underline r'$ e $\underline r''$ sono paralleli al piano, quindi $\underline T,\underline N\perp\underline n$ e $\underline B=\pm\underline n$ è costante. Da $\underline B'=-\tau\underline N$ si ha $\tau=0$. ($\Leftarrow$) Se $\tau\equiv0$, allora $\underline B'=\underline0$: $\underline B=\underline B_0$ è costante. Ma $\frac{d}{ds}(\underline r\cdot\underline B_0)=\underline T\cdot\underline B_0=0$, perché $\underline B_0=\underline B\perp\underline T$. Quindi $\underline r\cdot\underline B_0$ è costante: tutti i punti stanno nel piano $\underline B_0\cdot X=\text{costante}$. $\blacksquare$

Il segno di $\tau$ dice il senso di avvitamento: $\tau>0$ per una curva che si avvita come una vite destrorsa (un'elica con $k>0$), $\tau<0$ per una sinistrorsa. Invertire il verso di percorrenza non cambia né $\kappa$ né $\tau$ (nella formula di $\tau$ si ha $\underline r'\to-\underline r'$, $\underline r'''\to-\underline r'''$, $\underline r''$ invariato: il numeratore resta uguale); una riflessione allo specchio cambia il segno di $\tau$.

Esempio (elica). $\underline r(t)=(R\cos t,R\sin t,kt)$ con $R>0$, $k\neq0$: $$\underline r'=(-R\sin t,R\cos t,k),\quad\underline r''=(-R\cos t,-R\sin t,0),\quad\underline r'''=(R\sin t,-R\cos t,0),$$ $$\underline r'\wedge\underline r''=(kR\sin t,\,-kR\cos t,\,R^2),\quad|\underline r'\wedge\underline r''|^2=R^2(k^2+R^2),\quad|\underline r'|^2=R^2+k^2.$$ Allora $\kappa=\dfrac{R\sqrt{R^2+k^2}}{(R^2+k^2)^{3/2}}=\dfrac{R}{R^2+k^2}$ e $(\underline r'\wedge\underline r'')\cdot\underline r'''=kR^2\sin^2t+kR^2\cos^2t=kR^2$, per cui $$\tau=\frac{kR^2}{R^2(R^2+k^2)}=\frac{k}{R^2+k^2}.$$ Entrambe costanti: ogni tratto dell'elica è identico a ogni altro. Per $k\to0$ si ha $\kappa\to1/R$ (circonferenza) e $\tau\to0$; per $R\to0$ la curva diventa una retta e $\kappa\to0$.

Esempio (molla). Il filo di una molla elicoidale di raggio medio $R=10$ mm e passo $p=8$ mm (avanzamento per giro): $2\pi k=p$, $k=\frac{8}{2\pi}\approx1{,}273$ mm. Allora $R^2+k^2\approx101{,}62$, $\kappa\approx0{,}0984$ mm$^{-1}$ (raggio di curvatura $\approx10{,}16$ mm, di poco maggiore di $R$) e $\tau\approx0{,}0125$ mm$^{-1}$. Poiché il passo è piccolo rispetto al raggio, il filo è quasi una circonferenza ($\tau$ è piccola); a passo grande, $\tau$ cresce e $\kappa$ cala.

5. Come si risolve un esercizio

1. Calcolare $\underline r',\underline r'',\underline r'''$ e il prodotto vettoriale $\underline c=\underline r'\wedge\underline r''$.
2. $\kappa=|\underline c|/|\underline r'|^3$ e $\tau=(\underline c\cdot\underline r''')/|\underline c|^2$ (se $\underline c\equiv\underline0$ la curva è una retta).
3. $\underline T=\underline r'/|\underline r'|$, $\underline B=\underline c/|\underline c|$ e $\underline N=\underline B\wedge\underline T$ (oppure $\underline N$ da $\underline r''-(\underline r''\cdot\underline T)\underline T$ normalizzato).
4. Un piano osculatore, normale o rettificante in un punto si scrive con il normale ($\underline B$, $\underline T$, $\underline N$) e il punto.
5. Controllo: $\underline T\cdot\underline N=0$, $|\underline N|=1$, $\underline N\wedge\underline T=-\underline B$.

Errori da evitare

• Dimenticare che $\underline N$ non è $\underline r''/|\underline r''|$: coincide con la direzione di $\underline r''$ solo se $\underline r'\perp\underline r''$ (velocità scalare costante). In generale $\underline r''$ ha anche una componente lungo $\underline T$.
• Usare $\kappa=|\underline r''|$ con un parametro che non è l'ascissa curvilinea.
• Dividere per $|\underline c|^2$ e dimenticare il quadrato nella torsione, o dividere per $|\underline r'|^3$ nella torsione (il denominatore di $\tau$ è $|\underline r'\wedge\underline r''|^2$, senza $|\underline r'|$).
• Credere che $\tau=0$ in un punto significhi che la curva è piana: serve $\tau\equiv0$ lungo tutta la curva (la curva $(t,t^2,t^4)$ ha $\tau=\frac{48t}{|\underline r'\wedge\underline r''|^2}$, che si annulla solo in $t=0$, e non è piana).
• Segni: $\underline B=\underline T\wedge\underline N$ (non $\underline N\wedge\underline T$); $\tau>0$ per le eliche destrorse.

Esercizi svolti: Esercizio - molla elicoidale, triedro di Frenet, curvatura e torsione (R = 3, k = 4), Esercizio - cubica gobba, curvatura, torsione e piano osculatore, Esercizio - curva piana nello spazio, cilindro e piano, torsione nulla, Esercizio - punto su un filo elicoidale a velocità variabile, forze tangenziale e normale.

Domande d'esame

1. Definire il triedro di Frenet e dimostrare le formule di Frenet-Serret. Traccia. $\underline B=\underline T\wedge\underline N$; $\underline B'=\underline T\wedge\underline N'$ è ortogonale a $\underline T$ e a $\underline B$, quindi $=-\tau\underline N$; $\underline N=\underline B\wedge\underline T$ e si deriva.
2. Ricavare $\kappa$ e $\tau$ per una parametrizzazione qualsiasi. Traccia. $\underline r''=v'\underline T+\kappa v^2\underline N$, $\underline r'\wedge\underline r''=\kappa v^3\underline B$, componente di $\underline r'''$ lungo $\underline B$ uguale a $\kappa\tau v^3$.
3. Dimostrare che una curva è piana se e solo se la torsione è identicamente nulla. Traccia. $\underline B$ costante e $(\underline r\cdot\underline B_0)'=0$.
4. Calcolare curvatura e torsione di un'elica cilindrica. Traccia. $\kappa=R/(R^2+k^2)$, $\tau=k/(R^2+k^2)$.