Esercizio - volano a corona in acciaio, massa, momento d'inerzia ed energia

Teoria: Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripliUn corpo E con densità μ ha massa M = ∭μ e baricentro B = (1/M)∭ x μ. Il momento d'inerzia rispetto a una retta r è I_r = ∭ δ² μ (δ = distanza da r) e l'energia cinetica di rotazione è ½ I_r ω². Il tensore d'inerzia J = ∭ μ (|x|² E − x xᵀ) è simmetrico e dà I_n = n·Jn per la retta per l'origine di direzione n (D); i suoi autovettori sono gli assi principali. Huygens-Steiner (D): I_r = I_G + M d². Corpi di rotazione: I_z = (πμ/2)∫ r(z)⁴ dz. Risultati: cilindro ½MR², cilindro cavo ½M(R₁² + R₂²), sfera (2/5)MR², cono (3/10)MR², guscio sferico (2/3)MR², parallelepipedo M(a² + b²)/12.Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripli →, Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →.

Testo. Un volano d'acciaio (densità $\mu=7800$ kg/m$^3$) ha la forma di un cilindro cavo: raggio interno $R_1=5$ cm, raggio esterno $R_2=25$ cm, spessore (altezza) $h=4$ cm. Ruota attorno al proprio asse a $3000$ giri al minuto.

1. Calcolare la massa.
2. Calcolare con un integrale triplo il momento d'inerzia rispetto all'asse.
3. Calcolare l'energia cinetica e il raggio d'inerzia.
4. Confrontare con un disco pieno dello stesso raggio esterno e dello stesso spessore.
5. Quale coppia costante lo porta da fermo a $3000$ giri/min in $10$ s? Quali sono la potenza media e quella finale?

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

Si lavora in metri: $R_1=0{,}05$, $R_2=0{,}25$, $h=0{,}04$.

1. Massa. Il volume del cilindro cavo è l'area della corona per l'altezza: $V=\pi(R_2^2-R_1^2)h=\pi(0{,}0625-0{,}0025)\cdot0{,}04=0{,}0024\pi\approx7{,}54\cdot10^{-3}$ m$^3$, quindi $$M=\mu V=7800\cdot0{,}0024\pi=18{,}72\pi\approx58{,}81\ \text{kg}.$$

2. Momento d'inerzia. In coordinate cilindriche con asse $z$, $\delta^2=\rho^2$ e $dx\,dy\,dz=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$: $$I=\mu\int_0^{h}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{R_1}^{R_2}\rho^2\cdot\rho\,d\rho\,d\theta\,dz=\mu\cdot h\cdot2\pi\cdot\frac{R_2^4-R_1^4}4=\frac{\pi\mu h}2\big(R_2^4-R_1^4\big).$$ Con $R_2^4=0{,}00390625$ e $R_1^4=6{,}25\cdot10^{-6}$: $I=\frac{\pi\cdot7800\cdot0{,}04}{2}\cdot0{,}00390000=0{,}6084\pi\approx1{,}911$ kg$\,$m$^2$. Si ottiene lo stesso con la formula del cilindro cavo: $I=\frac12M(R_1^2+R_2^2)=\frac12\cdot58{,}81\cdot0{,}065\approx1{,}911$ kg$\,$m$^2$ ✓ (perché $R_2^4-R_1^4=(R_2^2-R_1^2)(R_2^2+R_1^2)$).

3. Energia e raggio d'inerzia. $3000$ giri/min $=\frac{3000\cdot2\pi}{60}=100\pi\approx314{,}16$ rad/s. Allora $$T=\tfrac12I\omega^2=\tfrac12\cdot0{,}6084\pi\cdot(100\pi)^2=3042\,\pi^3\approx9{,}43\cdot10^4\ \text{J}\approx94{,}3\ \text{kJ}.$$ Il raggio d'inerzia è $\sqrt{I/M}=\sqrt{\frac{R_1^2+R_2^2}{2}}=\sqrt{0{,}0325}\approx0{,}180$ m $=18$ cm: è come se tutta la massa fosse concentrata a $18$ cm dall'asse.

4. Confronto con un disco pieno. Con $R_1=0$: $M_0=\mu\pi R_2^2h=7800\pi\cdot0{,}0625\cdot0{,}04\approx61{,}26$ kg e $I_0=\frac12M_0R_2^2=\frac{\pi\mu h}2R_2^4\approx1{,}914$ kg$\,$m$^2$. Il foro centrale toglie il $\frac{R_1^2}{R_2^2}=4\%$ della massa ma solo $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^4=0{,}16\%$ del momento d'inerzia: la massa vicina all'asse conta poco, perché $I$ pesa la massa con il quadrato della distanza. È il motivo per cui i volani si fanno con la massa verso l'esterno.

5. Coppia e potenza. Moto uniformemente accelerato: $\alpha=\frac{\omega}{10}=10\pi\approx31{,}42$ rad/s$^2$. La coppia è $\tau=I\alpha=0{,}6084\pi\cdot10\pi=6{,}084\pi^2\approx60{,}0$ N$\,$m. Il lavoro compiuto è l'energia finale, $94{,}3$ kJ, quindi la potenza media è $\frac{94{,}3}{10}\approx9{,}43$ kW, e la potenza finale $\tau\omega=60{,}05\cdot314{,}16\approx18{,}9$ kW, il doppio della media (la potenza cresce linearmente con la velocità).

Errori tipici. Calcolare $\frac12M(R_2-R_1)^2$ o $\frac12MR_2^2$ (la formula del disco pieno applicata alla massa del cilindro cavo); dimenticare il $\rho$ del jacobiano (si integrerebbe $\rho^2$ e non $\rho^3$); usare i giri al minuto al posto dei radianti al secondo.