Esercizio - anello inclinato, punto più alto con due moltiplicatori

Teoria: Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superficiIn R^3 il vincolo è una superficie g(x,y,z) = b oppure una curva intersezione di due superfici g1 = b1, g2 = b2. Una superficie: se P è estremo vincolato e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P) (D). Una curva: se ∇g1(P) e ∇g2(P) sono linearmente indipendenti (∇g1 ∧ ∇g2 ≠ 0) allora ∇f(P) = λ1∇g1(P) + λ2∇g2(P) (D): due moltiplicatori, cinque equazioni in cinque incognite (x, y, z, λ1, λ2). Lagrangiana L = f + λ1(b1 − g1) + λ2(b2 − g2). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0, oppure gradienti paralleli), sistema di Lagrange, confronto (Weierstrass se il vincolo è compatto). Su un solido K si studiano interno (∇f = 0), facce (Lagrange o parametrizzazione), spigoli e vertici. Il moltiplicatore λ misura quanto cambia il valore ottimo al variare di b.Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superfici →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

Testo. Un anello circolare è la curva $\Gamma$ intersezione fra la sfera $x^2+y^2+z^2=6$ e il piano $x+y+z=0$ (lunghezze in metri, asse $z$ verticale). Trovare il punto più alto e il punto più basso dell'anello, cioè gli estremi di $f(x,y,z)=z$ su $\Gamma$, e l'inclinazione del piano dell'anello rispetto all'orizzontale.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

Impostazione. Vincoli $g_1=x^2+y^2+z^2=6$ e $g_2=x+y+z=0$, con $\nabla g_1=(2x,2y,2z)$, $\nabla g_2=(1,1,1)$ e $\nabla f=(0,0,1)$. Punti singolari del vincolo. I due gradienti sono paralleli solo se $(x,y,z)\parallel(1,1,1)$, cioè $x=y=z$; ma allora $g_2=0$ dà $3x=0$ e il punto è l'origine, che non sta sulla sfera. Quindi $\nabla g_1,\nabla g_2$ sono indipendenti su tutta $\Gamma$ e non c'è nulla da aggiungere. $\Gamma$ è chiusa e limitata (compatta): massimo e minimo di $z$ esistono.

Sistema. $\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2$: $$0=2\lambda_1x+\lambda_2,\qquad0=2\lambda_1y+\lambda_2,\qquad1=2\lambda_1z+\lambda_2,\qquad x^2+y^2+z^2=6,\qquad x+y+z=0 .$$ Sottraendo la prima dalla seconda: $2\lambda_1(y-x)=0$, quindi $\lambda_1=0$ oppure $x=y$.

• $\lambda_1=0$: la prima dà $\lambda_2=0$ e la terza $1=0$: impossibile.
• $x=y$: dal piano $z=-2x$; dalla sfera $x^2+x^2+4x^2=6x^2=6$, $x=\pm1$.

Candidati e valori.

Per Weierstrass: punto più alto $(-1,-1,2)$, quota $2$ m; punto più basso $(1,1,-2)$, quota $-2$ m. I moltiplicatori nel punto più alto: sottraendo la prima dalla terza, $1=2\lambda_1(z-x)=2\lambda_1\cdot3$, $\lambda_1=\frac16$, e dalla prima $\lambda_2=-2\lambda_1x=\frac13$ (verifica: $2\lambda_1z+\lambda_2=\frac23+\frac13=1$ ✓).

Controllo geometrico. L'anello è una circonferenza di raggio $R=\sqrt6$ (la sfera è centrata nell'origine, che sta nel piano) in un piano di normale $\underline n=\frac{(1,1,1)}{\sqrt3}$. L'angolo $\alpha$ fra il piano e l'orizzontale è l'angolo fra le normali: $\cos\alpha=\underline n\cdot\underline e_z=\frac1{\sqrt3}$, $\alpha\approx54{,}7^\circ$. Il punto più alto è a quota $R\sin\alpha=\sqrt6\cdot\sqrt{1-\frac13}=\sqrt6\cdot\sqrt{\frac23}=\sqrt4=2$ ✓.

Errori tipici. Scrivere un solo moltiplicatore (il vincolo è una curva: ne servono due); dividere per $y-x$ senza vedere il caso $\lambda_1=0$; dimenticare che l'origine è centro del piano e della sfera, quindi il raggio dell'anello è tutto $\sqrt6$.