Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superfici

Nella progettazione i vincoli stanno quasi sempre nello spazio: un serbatoio di volume fissato con la minima quantità di lamiera, il punto di una superficie più vicino a un altro punto, la posizione più alta di un anello inclinato, un punto che scorre su un filo ottenuto come intersezione di due superfici. Qui il metodo dei moltiplicatori di Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange → si estende a tre variabili, con un vincolo (una superficie) o due vincoli (una curva). Prerequisiti: Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici → (Fermat), Funzioni implicite e teorema di Dini nel pianoUna curva di livello f(x,y) = 0 è localmente il grafico di una funzione y = g(x) se f ∈ C¹, f(x₀,y₀) = 0 e f_y(x₀,y₀) ≠ 0 (teorema di Dini): g è unica, di classe C¹ e g'(x) = −f_x/f_y (D). Se invece f_x ≠ 0 si esplicita x = h(y), con h' = −f_y/f_x: il teorema si applica in tutti i punti non critici dell'insieme di livello. Retta tangente alla curva in (x₀,y₀): f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0. Se f ∈ C², g''(x₀) = −(f_xx + 2f_xy g' + f_yy g'²)/f_y. Dove f_y = 0 la curva può avere tangente verticale, incroci (x² − y²) o cuspidi (x² − y³).Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano →, Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → (piano tangente), Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (vettore tangente) e Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →.

1. Un vincolo: la superficie $g(x,y,z)=b$

Siano $f,g\in C^1(A)$, con $A\subseteq\mathbb{R}^3$ aperto, e $\Sigma=\{(x,y,z)\in A : g(x,y,z)=b\}$. Si cercano gli estremi della restrizione $f|_\Sigma$.

Il teorema di Dini in $\mathbb{R}^3$ (enunciato come nel piano, con tre variabili; si assume): se $g\in C^1$, $g(P)=b$ e $\nabla g(P)\neq\underline0$, vicino a $P$ l'insieme $\Sigma$ è una superficie regolare (grafico di una funzione $C^1$ di due variabili, per esempio $z=h(x,y)$ se $g_z(P)\ne0$) e il suo piano tangente in $P$ è $$\nabla g(P)\cdot(X-P)=0 .$$ Inoltre ogni vettore $\underline w$ ortogonale a $\nabla g(P)$ è il vettore tangente $\underline\gamma'(0)$ di una curva $C^1$ $\underline\gamma(t)$ tracciata su $\Sigma$ con $\underline\gamma(0)=P$.

Teorema (D, moltiplicatori di Lagrange, una superficie). Se $P\in\Sigma$ è un punto di estremo relativo vincolato di $f|_\Sigma$ e $\nabla g(P)\neq\underline0$, esiste $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $$\nabla f(P)=\lambda\,\nabla g(P).$$

Dimostrazione. Sia $\underline w$ un vettore con $\underline w\cdot\nabla g(P)=0$ e sia $\underline\gamma$ una curva su $\Sigma$ con $\underline\gamma(0)=P$, $\underline\gamma'(0)=\underline w$. La funzione di una variabile $\Phi(t)=f(\underline\gamma(t))$ ha un estremo relativo interno in $t=0$ (perché $P$ lo è per $f|_\Sigma$), quindi per il teorema di Fermat $0=\Phi'(0)=\nabla f(P)\cdot\underline w$. Dunque $\nabla f(P)$ è ortogonale a tutti i vettori del piano $\nabla g(P)^{\perp}$ (che ha dimensione $2$): $\nabla f(P)$ sta nel complemento ortogonale di quel piano, che è la retta generata da $\nabla g(P)$. Quindi $\nabla f(P)=\lambda\nabla g(P)$. $\blacksquare$

Significato geometrico. $\nabla g$ è perpendicolare alla superficie; in un estremo vincolato anche $\nabla f$ lo è: la superficie di livello di $f$ per $P$ è tangente a $\Sigma$.

La lagrangiana $\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f+\lambda(b-g)$ ha gradiente nullo se e solo se $\nabla f=\lambda\nabla g$ e $g=b$: quattro equazioni in quattro incognite $(x,y,z,\lambda)$.

Esempio (distanza di un piano dall'origine). $f=x^2+y^2+z^2$ sul piano $x+2y+3z=14$. Il sistema $(2x,2y,2z)=\lambda(1,2,3)$ dà $(x,y,z)=\mu(1,2,3)$ con $\mu=\lambda/2$; imponendo il vincolo, $14\mu=14$, $\mu=1$: unico punto $(1,2,3)$ con $f=14$, distanza $\sqrt{14}$. Coincide con la formula $\frac{|14|}{\sqrt{1+4+9}}=\sqrt{14}$. Il minimo esiste perché $f\to+\infty$ all'infinito sul piano, ed è l'unico candidato.

Esempio (scatola chiusa di volume massimo). Fra i parallelepipedi di superficie totale assegnata $S_0$ qual è quello di volume massimo? $f=xyz$ con $x,y,z>0$ e $g=xy+yz+zx=b$, $b=\frac{S_0}2$. Il sistema: $$yz=\lambda(y+z),\qquad xz=\lambda(x+z),\qquad xy=\lambda(x+y),\qquad xy+yz+zx=b .$$ Sottraendo le prime due: $z(y-x)=\lambda(y-x)$, cioè $x=y$ oppure $\lambda=z$. Se $\lambda=z$ la prima dà $yz=z(y+z)$, cioè $z^2=0$, impossibile con $z>0$. Quindi $x=y$ e, con lo stesso ragionamento sulla seconda e terza, $y=z$: il cubo. Dal vincolo $3x^2=b$, $x=\sqrt{S_0/6}$, $V=\left(\frac{S_0}6\right)^{3/2}$. Esiste davvero un massimo: per la disuguaglianza fra media aritmetica e geometrica di $xy,yz,zx$ si ha $(xyz)^{2/3}\le\frac b3$, cioè $V\le(b/3)^{3/2}$, con uguaglianza nel cubo. Per $S_0=24$ m$^2$: spigolo $2$ m, $V=8$ m$^3$.

2. Due vincoli: la curva $g_1=b_1,\ g_2=b_2$

Siano $g_1,g_2\in C^1(A)$ e $\Gamma=\{g_1=b_1,\ g_2=b_2\}$, intersezione di due superfici. Si cercano gli estremi di $f|_\Gamma$. Un punto $P\in\Gamma$ si dice regolare per il vincolo se $\nabla g_1(P)$ e $\nabla g_2(P)$ sono linearmente indipendenti, cioè $\nabla g_1(P)\wedge\nabla g_2(P)\ne\underline0$ (le due superfici si tagliano trasversalmente, non sono tangenti). Per Dini in $\mathbb{R}^3$ (sistema di due equazioni in tre incognite, jacobiana $2\times3$ di rango $2$), vicino a un punto regolare $\Gamma$ è una curva regolare $\underline r(t)$ con $\underline r(0)=P$ e vettore tangente $$\underline r'(0)\parallel\nabla g_1(P)\wedge\nabla g_2(P).$$ (Infatti da $g_i(\underline r(t))=b_i$ si ha $\nabla g_i(P)\cdot\underline r'(0)=0$ per $i=1,2$: il vettore tangente è ortogonale a entrambi i gradienti, quindi parallelo al loro prodotto vettoriale.)

Teorema (D, due moltiplicatori). Se $P\in\Gamma$ è un estremo relativo vincolato di $f|_\Gamma$ e $\nabla g_1(P)$, $\nabla g_2(P)$ sono linearmente indipendenti, esistono $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ tali che $$\nabla f(P)=\lambda_1\nabla g_1(P)+\lambda_2\nabla g_2(P).$$

Dimostrazione. Sia $\underline r(t)$ la curva regolare di $\Gamma$ per $P$. La funzione $\Phi(t)=f(\underline r(t))$ ha un estremo interno in $t=0$, quindi $\Phi'(0)=\nabla f(P)\cdot\underline r'(0)=0$. Quindi $\nabla f(P)$ sta nel piano $\underline r'(0)^\perp$, di dimensione $2$. Anche $\nabla g_1(P)$ e $\nabla g_2(P)$ stanno in quel piano (ortogonali a $\underline r'(0)$ come visto) e, essendo indipendenti, ne sono una base. Quindi $\nabla f(P)$ è una loro combinazione lineare. $\blacksquare$

La lagrangiana è $\mathcal{L}=f+\lambda_1(b_1-g_1)+\lambda_2(b_2-g_2)$ e $\nabla\mathcal{L}=\underline0$ equivale a $\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2$, $g_1=b_1$, $g_2=b_2$: cinque equazioni in cinque incognite $(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)$.

Esempio (distanza dall'origine su un'ellisse nello spazio). $\Gamma$: cilindro $g_1=x^2+y^2=1$ e piano $g_2=x+y-z=0$; $f=x^2+y^2+z^2$. I gradienti sono $\nabla g_1=(2x,2y,0)$ e $\nabla g_2=(1,1,-1)$: sono sempre indipendenti su $\Gamma$ (il primo è non nullo perché $x^2+y^2=1$, e ha terza componente nulla mentre il secondo no). Il sistema è $$2x=2\lambda_1x+\lambda_2,\qquad2y=2\lambda_1y+\lambda_2,\qquad2z=-\lambda_2,\qquad x^2+y^2=1,\qquad z=x+y .$$ Sottraendo le prime due: $2(x-y)(1-\lambda_1)=0$.

• $x=y$: dal cilindro $x=y=\pm\frac{\sqrt2}2$; dal piano $z=\pm\sqrt2$. Punti $\pm\big(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,\sqrt2\big)$ con $f=\frac12+\frac12+2=3$.
• $\lambda_1=1$: la prima dà $\lambda_2=0$, quindi $z=0$ e $x+y=0$: da $x^2+y^2=1$, $(x,y)=\pm\big(\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2\big)$ con $f=1$.

$\Gamma$ è compatta (chiusa e limitata): $\max f=3$ (distanza $\sqrt3$, estremi dell'asse maggiore dell'ellisse) e $\min f=1$ (distanza $1$, estremi dell'asse minore). Il confronto con la curvatura dell'ellisse è nell'esercizio Esercizio - curva piana nello spazio, cilindro e piano, torsione nulla.

3. Procedura e punti singolari

1. Punti singolari del vincolo. Superficie: i punti di $\Sigma$ con $\nabla g=\underline0$. Curva: i punti di $\Gamma$ in cui $\nabla g_1\wedge\nabla g_2=\underline0$ (gradienti paralleli o uno nullo). Qui il teorema non si applica: si studiano a parte e si aggiungono all'elenco dei candidati.
2. Sistema di Lagrange ($\nabla f=\lambda\nabla g$ oppure $\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2$, più i vincoli). Per risolverlo conviene eliminare i moltiplicatori con condizioni di parallelismo ($\nabla f\wedge\nabla g=\underline0$, oppure $\det(\nabla f,\nabla g_1,\nabla g_2)=0$) e distinguere i casi senza dividere per quantità che possono annullarsi.
3. Confronto. Se il vincolo è compatto, per Weierstrass massimo e minimo esistono e sono fra i candidati. Se non lo è si studia il comportamento all'infinito (come in Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →) o si usa un argomento ad hoc (per esempio la disuguaglianza fra medie).

Esempio di punto singolare. Per il cono $g=x^2+y^2-z^2=0$ si ha $\nabla g=(2x,2y,-2z)=\underline0$ solo nel vertice $(0,0,0)$, che sta sul cono e non ha piano tangente: è un candidato da controllare a parte. Nel cercare il punto del cono più vicino a $(0,0,1)$, cioè il minimo di $f=x^2+y^2+(z-1)^2$, il vertice dà $f=1$, mentre i punti regolari $(\rho,0,z)$ con $\rho=|z|$ danno $f=z^2+(z-1)^2$, minimo $\frac12$ per $z=\frac12$: qui il vertice non è il minimo, ma senza controllarlo non lo si saprebbe.

4. Estremi assoluti su un solido

Sia $K\subset\mathbb{R}^3$ compatto, per esempio una palla, un cilindro, un parallelepipedo, e $f\in C(K)$. Per Weierstrass $f$ ha massimo e minimo su $K$, e si cercano così:

• interno di $K$: i punti con $\nabla f=\underline0$ (se $f\in C^1$) appartenenti all'interno;
• bordo regolare (per esempio una sfera, una faccia): estremi di $f$ sulla superficie, con un moltiplicatore (o parametrizzando);
• spigoli (intersezioni fra due facce): estremi di $f$ sulla curva, con due moltiplicatori o con la parametrizzazione dello spigolo;
• vertici: si valuta $f$. Alla fine si confrontano i valori. Un esempio completo è l'esercizio sul prodotto $xyz$ in una palla.

5. Il significato del moltiplicatore

Se si pensa a $b$ come a un parametro del problema (volume assegnato, superficie assegnata), il valore ottimo $f^*(b)$ dipende da $b$ e, sotto ipotesi di regolarità (che si accettano senza dimostrazione), $$\frac{df^*}{db}=\lambda .$$ Il moltiplicatore è dunque il tasso di variazione del valore ottimo rispetto al vincolo: per una scatola aperta di volume $V$ e superficie minima $S^*(V)$ (esercizio sotto), $\lambda=\frac{dS^*}{dV}$ dice di quanti metri quadri di lamiera in più serve per un metro cubo in più di volume. Nei problemi di progetto è spesso più interessante di $f^*$ stesso.

Errori da evitare

• Dimenticare i punti singolari ($\nabla g=\underline0$, oppure $\nabla g_1\wedge\nabla g_2=\underline0$).
• Scrivere un solo moltiplicatore con due vincoli: con due vincoli $\nabla f$ è combinazione di due gradienti.
• Contare male le equazioni: tre incognite spaziali più un moltiplicatore per ogni vincolo.
• Dividere per una coordinata o per $\lambda$ senza distinguere il caso nullo: si perdono soluzioni (nella scatola, il caso $\lambda=z$).
• Accettare candidati fuori dal dominio (per esempio coordinate negative per una scatola) o in un punto di bordo di $K$ chiamato "interno".
• Credere che il sistema di Lagrange classifichi i punti: dà solo i candidati; massimo e minimo si decidono confrontando i valori (o con Weierstrass e un argomento di compattezza).

Esercizi svolti: Esercizio - serbatoio aperto di volume assegnato e superficie minima, con un moltiplicatore, Esercizio - anello inclinato, punto più alto con due moltiplicatori, Esercizio - prodotto xyz su una palla, estremi assoluti su un solido, Esercizio - momento d'inerzia minimo e massimo rispetto agli assi per un punto.

Domande d'esame

1. Enunciare e dimostrare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange per un vincolo $g(x,y,z)=b$. Traccia. Dini: $\Sigma$ è localmente una superficie regolare; per ogni $\underline w\perp\nabla g(P)$ esiste una curva su $\Sigma$ con velocità $\underline w$; Fermat dà $\nabla f\cdot\underline w=0$; $\nabla f\in(\nabla g^\perp)^\perp=\langle\nabla g\rangle$.
2. Enunciare il teorema per due vincoli e spiegare la condizione sui gradienti. Traccia. $\nabla g_1,\nabla g_2$ indipendenti $\iff$ $\Gamma$ è una curva regolare con tangente $\nabla g_1\wedge\nabla g_2$; $\nabla f\perp$ tangente e $\nabla g_1,\nabla g_2$ base del piano ortogonale.
3. Descrivere come si trovano massimo e minimo di una funzione continua su un solido compatto. Traccia. Interno, facce (un moltiplicatore), spigoli (due moltiplicatori o parametrizzazione), vertici, confronto.