Esercizio - molla elicoidale, triedro di Frenet, curvatura e torsione (R = 3, k = 4)

Teoria: Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazioPer una curva regolare di R^3 con curvatura κ ≠ 0 si ha la terna ortonormale destra (T, N, B) con B = T ∧ N (binormale). I piani osculatore (T, N), normale (N, B) e rettificante (T, B) passano per il punto. Formule di Frenet-Serret (D), in ascissa curvilinea: T' = κN, N' = −κT + τB, B' = −τN; τ è la torsione. In un parametro qualsiasi: B = (r' ∧ r'')/|r' ∧ r''|, κ = |r' ∧ r''|/|r'|³, τ = (r' ∧ r'')·r'''/|r' ∧ r''|² (D). La curva è piana se e solo se τ ≡ 0 (D). Elica (R cos t, R sin t, kt): κ = R/(R²+k²), τ = k/(R²+k²). L'accelerazione sta sempre nel piano osculatore: a = v'T + κv²N.Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazio →, Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →.

Testo. Il filo di una molla elicoidale a dieci spire ha la forma $\gamma(t)=(3\cos t,\ 3\sin t,\ 4t)$, $t\in[0,20\pi]$ (lunghezze in centimetri).

1. Calcolare curvatura e torsione e verificare che sono costanti.
2. Scrivere il triedro di Frenet $(\underline T,\underline N,\underline B)$ in un punto generico.
3. Scrivere le equazioni dei piani osculatore, normale e rettificante nel punto $P_0=\gamma(0)=(3,0,0)$.
4. Calcolare il passo della molla e la lunghezza del filo.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

Derivate. $$\gamma'=(-3\sin t,\ 3\cos t,\ 4),\qquad\gamma''=(-3\cos t,\ -3\sin t,\ 0),\qquad\gamma'''=(3\sin t,\ -3\cos t,\ 0).$$ La velocità scalare è $v=|\gamma'|=\sqrt{9\sin^2t+9\cos^2t+16}=5$, costante.

Prodotto vettoriale. $$\underline c=\gamma'\wedge\gamma''=\big(3\cos t\cdot0-4\cdot(-3\sin t),\ \ 4\cdot(-3\cos t)-(-3\sin t)\cdot0,\ \ (-3\sin t)(-3\sin t)-3\cos t\cdot(-3\cos t)\big)=(12\sin t,\ -12\cos t,\ 9),$$ con $|\underline c|=\sqrt{144+81}=15$.

1. Curvatura e torsione. $$\kappa=\frac{|\underline c|}{|\gamma'|^3}=\frac{15}{125}=\frac3{25},\qquad\tau=\frac{\underline c\cdot\gamma'''}{|\underline c|^2}=\frac{36\sin^2t+36\cos^2t+0}{225}=\frac{36}{225}=\frac4{25}.$$ Sono costanti, come la formula generale $\kappa=\frac R{R^2+k^2}$, $\tau=\frac k{R^2+k^2}$ con $R=3$, $k=4$, $R^2+k^2=25$. Il raggio di curvatura è $\frac1\kappa=\frac{25}3\approx8{,}33$ cm, maggiore del raggio $R=3$ cm dell'elica: la curva è meno "stretta" della circonferenza di raggio $3$ che ha la stessa proiezione, perché il filo sale.

2. Triedro. $$\underline T=\frac{\gamma'}{5}=\frac15(-3\sin t,\ 3\cos t,\ 4),\qquad\underline B=\frac{\underline c}{15}=\frac15(4\sin t,\ -4\cos t,\ 3).$$ Il normale principale è $\underline N=\underline B\wedge\underline T$; il calcolo è $$\underline N=\frac1{25}\big((-4\cos t)(4)-3\cdot3\cos t,\ \ 3\cdot(-3\sin t)-4\sin t\cdot4,\ \ 4\sin t\cdot3\cos t-(-4\cos t)(-3\sin t)\big)=\frac1{25}(-25\cos t,\ -25\sin t,\ 0)=(-\cos t,\ -\sin t,\ 0).$$ Il normale punta orizzontalmente verso l'asse della molla (verso il centro di curvatura). Controlli: $\underline T\cdot\underline N=\frac15(3\sin t\cos t-3\sin t\cos t)=0$; $|\underline B|^2=\frac{16+9}{25}=1$; da $\underline T'=\kappa v\underline N$ (derivata in $t$): $\underline T'=\frac15(-3\cos t,-3\sin t,0)$ e $\kappa v\underline N=\frac3{25}\cdot5\,\underline N=\frac35\underline N$ ✓. Inoltre $\underline T\cdot\underline e_z=\frac45$ e $\underline B\cdot\underline e_z=\frac35$ sono costanti: il filo forma un angolo costante con l'asse (proprietà caratteristica dell'elica).

3. I tre piani in $P_0=(3,0,0)$. Per $t=0$: $\underline T_0=(0,\frac35,\frac45)$, $\underline N_0=(-1,0,0)$, $\underline B_0=(0,-\frac45,\frac35)$.

• Osculatore (normale $\underline B_0$): $-\frac45y+\frac35z=0$, cioè $3z-4y=0$.
• Normale (normale $\underline T_0$): $\frac35y+\frac45z=0$, cioè $3y+4z=0$.
• Rettificante (normale $\underline N_0$): $-(x-3)=0$, cioè $x=3$. Ciascun piano contiene $P_0$ e i due versori che lo generano: per esempio $\underline T_0=(0,\frac35,\frac45)$ verifica $3\cdot\frac45-4\cdot\frac35=0$ (sta nell'osculatore) e $x=3$ (la componente $x$ è nulla, sta nel rettificante).

4. Passo e lunghezza. Un giro è $t\in[0,2\pi]$, e in un giro la quota cresce di $4\cdot2\pi=8\pi\approx25{,}13$ cm: è il passo. La lunghezza del filo è $\int_0^{20\pi}|\gamma'|\,dt=5\cdot20\pi=100\pi\approx314{,}16$ cm (circa $3{,}14$ m), con $10$ giri da $2\pi\cdot5=10\pi$ cm ciascuno.

Errori tipici. Calcolare $\kappa=|\gamma''|/|\gamma'|^2=3/25$ (qui coincide, perché $\gamma'\perp\gamma''$) e credere che sia la formula generale; usare $\tau=k/R^2$ invece di $\frac k{R^2+k^2}$; dimenticare di normalizzare $\underline c$ per ottenere $\underline B$.