Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costanti

Il metodo "si riduce a un'equazione di secondo ordine" di Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti → vale per sistemi $2\times2$. In meccanica i sistemi hanno più gradi di libertà: due o tre masse collegate da molle, un albero con più dischi, un circuito di serbatoi. Servono strumenti che funzionano per ogni $n$: la matrice fondamentale, gli autovalori, l'esponenziale di matrice e la variazione delle costanti, che dà la soluzione per un termine noto qualsiasi. Prerequisiti: la struttura delle soluzioni (spazio di dimensione $n$) e il problema di Cauchy in Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori → e DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →; per il caso scalare Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

1. Matrice fondamentale

Sia $\underline y'=A(t)\underline y$ ($A$ continua su un intervallo $I$, $n\times n$). Si sa che le soluzioni formano uno spazio di dimensione $n$.

Definizione. Una matrice fondamentale è una matrice $\Phi(t)$ le cui colonne sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti $\underline y_1,\dots,\underline y_n$. Vale $\Phi'(t)=A(t)\Phi(t)$ e l'integrale generale è $\underline y(t)=\Phi(t)\underline c$, $\underline c\in\mathbb{R}^n$.

Proposizione (D). Le $n$ soluzioni $\underline y_1,\dots,\underline y_n$ sono linearmente indipendenti se e solo se $\det\Phi(t_0)\ne0$ per un (equivalentemente, per ogni) $t_0\in I$.

Dimostrazione. ($\Leftarrow$) Se $\sum c_i\underline y_i(t)=\Phi(t)\underline c\equiv\underline0$, in $t_0$ si ha $\Phi(t_0)\underline c=\underline0$ con $\Phi(t_0)$ invertibile, quindi $\underline c=\underline0$. ($\Rightarrow$) Se per assurdo $\det\Phi(t_0)=0$ per qualche $t_0$, esiste $\underline c\ne\underline0$ con $\Phi(t_0)\underline c=\underline0$; allora $\underline y=\Phi\underline c$ è una soluzione nulla in $t_0$ e, per l'unicità del problema di Cauchy, è nulla ovunque: le colonne sono dipendenti. $\blacksquare$

Problema di Cauchy. Per $\underline y(t_0)=\underline y_0$ si impone $\Phi(t_0)\underline c=\underline y_0$, $\underline c=\Phi(t_0)^{-1}\underline y_0$, e $$\underline y(t)=\Phi(t)\,\Phi(t_0)^{-1}\,\underline y_0 .$$ La matrice $\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}$ è la fondamentale che vale l'identità in $t_0$.

2. Coefficienti costanti: autovalori e autovettori

Sia $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ costante. Si cerca $\underline y=e^{\lambda t}\underline h$.

Teorema. $\underline y=e^{\lambda t}\underline h$ (con $\underline h\ne\underline0$) risolve $\underline y'=A\underline y$ se e solo se $A\underline h=\lambda\underline h$.

Infatti $\underline y'=\lambda e^{\lambda t}\underline h$ e $A\underline y=e^{\lambda t}A\underline h$ coincidono se e solo se $A\underline h=\lambda\underline h$. Tre situazioni.

(a) $A$ diagonalizzabile con autovalori reali $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (anche ripetuti) e autovettori indipendenti $\underline h_1,\dots,\underline h_n$: una matrice fondamentale è $\Phi(t)=\big(e^{\lambda_1t}\underline h_1\ \cdots\ e^{\lambda_nt}\underline h_n\big)$ (indipendenti perché per $t=0$ le colonne sono gli $\underline h_i$) e $$\underline y(t)=c_1e^{\lambda_1t}\underline h_1+\dots+c_ne^{\lambda_nt}\underline h_n .$$ Esempio. $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$: autovalore $4$ con $\underline h=(1,1,1)$ e autovalore $1$ doppio con $\underline h=(-1,1,0),(-1,0,1)$. L'integrale generale è $c_1e^{4t}(1,1,1)+e^t\big[c_2(-1,1,0)+c_3(-1,0,1)\big]$.

(b) Autovalori complessi. Se $A$ è reale e $\lambda=\mu+i\omega$ ($\omega\ne0$) è autovalore con autovettore $\underline h=\underline u+i\underline v$, anche $\bar\lambda$ lo è con $\bar{\underline h}$. La soluzione complessa $e^{\lambda t}\underline h$ ha parte reale e parte immaginaria che sono soluzioni reali (perché $A$ è reale, $\operatorname{Re}$ e $\operatorname{Im}$ di una soluzione sono soluzioni): $$e^{\mu t}\big(\underline u\cos\omega t-\underline v\sin\omega t\big),\qquad e^{\mu t}\big(\underline u\sin\omega t+\underline v\cos\omega t\big).$$ Così la coppia coniugata dà due soluzioni reali indipendenti: oscillazioni di pulsazione $\omega$ con ampiezza $e^{\mu t}$ (decrescente se $\mu<0$).

(c) Autovalore non diagonalizzabile. Se $\lambda$ ha molteplicità algebrica maggiore di quella geometrica mancano autovettori. Se $(A-\lambda\mathrm{Id})\underline h_2=\underline h_1$ con $\underline h_1$ autovettore, una soluzione in più è $$\underline y=e^{\lambda t}\big(\underline h_2+t\,\underline h_1\big)$$ (verifica: $\underline y'=e^{\lambda t}(\lambda\underline h_2+\lambda t\underline h_1+\underline h_1)$ e $A\underline y=e^{\lambda t}(A\underline h_2+tA\underline h_1)=e^{\lambda t}(\underline h_1+\lambda\underline h_2+t\lambda\underline h_1)$, uguali). Per un blocco di Jordan di dimensione $m$ compaiono potenze di $t$ fino a $t^{m-1}$ (v. §3).

3. L'esponenziale di una matrice

Definizione. $e^{tA}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}A^k=\mathrm{Id}+tA+\frac{t^2}2A^2+\cdots$ (converge per ogni $t$ perché $\left\|\frac{t^kA^k}{k!}\right\|\le\frac{(|t|\|A\|)^k}{k!}$).

La serie si può derivare termine a termine: $\frac{d}{dt}e^{tA}=\sum_{k\ge1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k}=Ae^{tA}$ e $e^{0\cdot A}=\mathrm{Id}$. Quindi $e^{tA}$ è la matrice fondamentale che vale l'identità in $t=0$ e la soluzione del problema di Cauchy $\underline y(t_0)=\underline y_0$ è $$\underline y(t)=e^{(t-t_0)A}\,\underline y_0 .$$ Per $n=1$, $A=a$: $e^{at}$. Come si calcola:

• $A$ diagonalizzabile, $A=PDP^{-1}$ con $D=\operatorname{diag}(\lambda_i)$: $A^k=PD^kP^{-1}$ e $e^{tA}=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_it})P^{-1}$.
• $A=\lambda\mathrm{Id}+N$ con $N$ nilpotente ($N^m=0$): poiché $\lambda\mathrm{Id}$ commuta con $N$, $e^{tA}=e^{\lambda t}\big(\mathrm{Id}+tN+\cdots+\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}N^{m-1}\big)$. Per un blocco di Jordan $3\times3$, $$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ e^{tA}=e^{2t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}2\\0&1&t\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
• Rotazione: $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ ($A^2=-\mathrm{Id}$): $e^{tA}=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$.

4. Variazione delle costanti

Per il sistema completo $\underline y'=A(t)\underline y+\underline g(t)$ la sovrapposizione dice che l'integrale generale è omogeneo più una soluzione particolare. La soluzione particolare si può cercare "per somiglianza" solo se $\underline g$ è di forma speciale (polinomi, esponenziali, seni e coseni). Per un $\underline g$ continuo qualsiasi vale una formula.

Teorema (D, variazione delle costanti). Sia $\Phi$ una matrice fondamentale dell'omogeneo. La soluzione di $\underline y'=A\underline y+\underline g$, $\underline y(t_0)=\underline y_0$ è $$\underline y(t)=\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}\underline y_0+\Phi(t)\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\underline g(s)\,ds .$$ Se $A$ è costante, con $\Phi=e^{tA}$ e $e^{-sA}=(e^{sA})^{-1}$, $$\underline y(t)=e^{(t-t_0)A}\underline y_0+\int_{t_0}^te^{(t-s)A}\underline g(s)\,ds .$$

Dimostrazione. Si cerca la soluzione nella forma $\underline y(t)=\Phi(t)\underline c(t)$ (le "costanti" $\underline c$ diventano funzioni). Derivando, $$\underline y'=\Phi'\underline c+\Phi\underline c'=A\Phi\underline c+\Phi\underline c'=A\underline y+\Phi\underline c' .$$ Affinché $\underline y$ risolva il sistema completo serve $\Phi(t)\underline c'(t)=\underline g(t)$, cioè $\underline c'(t)=\Phi(t)^{-1}\underline g(t)$ ($\Phi$ è invertibile per la proposizione del §1). Integrando, $\underline c(t)=\underline c(t_0)+\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\underline g(s)\,ds$, e $\underline c(t_0)=\Phi(t_0)^{-1}\underline y_0$ dal dato iniziale. Per $A$ costante, $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=e^{tA}e^{-sA}=e^{(t-s)A}$. $\blacksquare$

Per $n=1$ è la formula $y=e^{a(t-t_0)}y_0+\int_{t_0}^te^{a(t-s)}g(s)\,ds$ delle equazioni lineari del primo ordine. La si usa quando $\underline g$ non è di tipo "somiglianza" (per esempio $\frac1{\cos t}$, $\tan t$, $\frac1t$, $\sqrt t$), oppure quando conviene un'unica formula valida per $n$ qualunque.

Termini noti speciali (somiglianza per i sistemi). Se $\underline g(t)=e^{\gamma t}\underline p(t)$ con $\underline p$ vettore di polinomi di grado $\le r$, esiste una soluzione particolare $e^{\gamma t}\underline q(t)$ con $\underline q$ polinomio vettoriale di grado $\le r+m$, dove $m$ è la molteplicità algebrica di $\gamma$ come autovalore di $A$ ($m=0$ se non lo è: nessuna risonanza). Lo stesso con $\cos\omega t,\sin\omega t$ e $\gamma\pm i\omega$.

5. Equazioni di ordine $n$ e sistemi meccanici

Equazioni di ordine $n$. $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=g$ equivale al sistema del primo ordine per $\underline y=(y,y',\dots,y^{(n-1)})$ con la matrice compagna; il polinomio caratteristico della matrice compagna è $\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0$, quello dell'equazione.

Sistemi massa-molla. $N$ masse uguali $m$ collegate da molle hanno equazioni $m\,\underline x''=-K_0\underline x$, con $K_0$ matrice simmetrica definita positiva (matrice di rigidezza). Posto $K=K_0/m$, $\underline x''=-K\underline x$.

Teorema. Siano $\omega_1^2,\dots,\omega_N^2>0$ gli autovalori di $K$ e $\underline u_1,\dots,\underline u_N$ autovettori ortonormali. La soluzione generale è $$\underline x(t)=\sum_{j=1}^N\big(a_j\cos\omega_jt+b_j\sin\omega_jt\big)\underline u_j .$$

Dimostrazione. Si scrive $\underline x(t)=\sum_jq_j(t)\underline u_j$, con $q_j=\underline x\cdot\underline u_j$. Dall'equazione, $q_j''=\underline x''\cdot\underline u_j=-K\underline x\cdot\underline u_j=-\underline x\cdot K\underline u_j=-\omega_j^2q_j$ ($K$ simmetrica): $N$ oscillatori armonici indipendenti, con soluzione $a_j\cos\omega_jt+b_j\sin\omega_jt$. $\blacksquare$

Gli $\underline u_j$ sono i modi normali, gli $\omega_j$ le pulsazioni proprie. Nel sistema del primo ordine $\underline y=(\underline x,\underline x')$ gli autovalori sono $\pm i\omega_j$. Se le pulsazioni sono vicine, l'energia passa lentamente da una massa all'altra (battimenti): $\cos\omega_1t+\cos\omega_2t=2\cos\frac{\omega_2-\omega_1}2t\,\cos\frac{\omega_1+\omega_2}2t$ (Esercizio - due masse e tre molle, modi normali e battimenti). Con smorzamento compaiono parti reali negative.

Stabilità. Per $\underline y'=A\underline y$ con $A$ costante: se tutti gli autovalori hanno parte reale $<0$, ogni soluzione tende a $\underline0$ per $t\to+\infty$ (asintotica stabilità); se almeno uno ha parte reale $>0$ esiste una soluzione illimitata (instabilità). È la generalizzazione a $n$ dimensioni della classificazione di Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →.

Errori da evitare

• Dimenticare il caso di autovalore multiplo non diagonalizzabile: servono i termini $t\,e^{\lambda t}$ (una matrice $3\times3$ con un solo autovalore doppio e un solo autovettore non ha una base di autovettori).
• Usare un autovettore complesso senza prendere parte reale e immaginaria: la soluzione richiesta è reale.
• Scambiare l'ordine nella formula di variazione delle costanti: è $\Phi(t)\int\Phi(s)^{-1}\underline g(s)\,ds$, non $\int\Phi(s)^{-1}\underline g(s)\,ds$ senza $\Phi(t)$ a sinistra, né $\Phi(s)\Phi(t)^{-1}$.
• Credere che $e^{tA}$ sia la matrice con elementi $e^{ta_{ij}}$: $e^{A+B}=e^Ae^B$ solo se $A$ e $B$ commutano.
• Condizioni iniziali: con $\Phi$ generica serve $\underline c=\Phi(t_0)^{-1}\underline y_0$; con $\Phi=e^{tA}$ e $t_0=0$, $\underline c=\underline y_0$.

Esercizi svolti: Esercizio - sistema 3x3 con autovalore doppio diagonalizzabile e problema di Cauchy, Esercizio - sistema 3x3 con autovalori complessi e problema di Cauchy, Esercizio - variazione delle costanti con forzante 1 su coseno, Esercizio - due masse e tre molle, modi normali e battimenti.

Domande d'esame

1. Che cos'è una matrice fondamentale? Dimostrare che le colonne sono indipendenti se e solo se $\det\Phi(t_0)\ne0$. Traccia. Combinazione nulla in $t_0$; viceversa colonna combinazione nulla in $t_0$ $\Rightarrow$ soluzione nulla $\Rightarrow$ unicità.
2. Dimostrare la formula di variazione delle costanti. Traccia. $\underline y=\Phi\underline c(t)$, $\Phi\underline c'=\underline g$, $\underline c'=\Phi^{-1}\underline g$, integrare; per $A$ costante $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}=e^{(t-s)A}$.
3. Risolvere $\underline y'=A\underline y$ con $A$ diagonalizzabile; che cosa si fa con autovalori complessi? Traccia. $\sum c_ie^{\lambda_it}\underline h_i$; parte reale e immaginaria di $e^{\lambda t}\underline h$.
4. Ricavare i modi normali di $\underline x''=-K\underline x$. Traccia. Base ortonormale di autovettori di $K$; $q_j''=-\omega_j^2q_j$.