Esercizio - sfera a densità decrescente, massa e momento d'inerzia

Teoria: Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripliUn corpo E con densità μ ha massa M = ∭μ e baricentro B = (1/M)∭ x μ. Il momento d'inerzia rispetto a una retta r è I_r = ∭ δ² μ (δ = distanza da r) e l'energia cinetica di rotazione è ½ I_r ω². Il tensore d'inerzia J = ∭ μ (|x|² E − x xᵀ) è simmetrico e dà I_n = n·Jn per la retta per l'origine di direzione n (D); i suoi autovettori sono gli assi principali. Huygens-Steiner (D): I_r = I_G + M d². Corpi di rotazione: I_z = (πμ/2)∫ r(z)⁴ dz. Risultati: cilindro ½MR², cilindro cavo ½M(R₁² + R₂²), sfera (2/5)MR², cono (3/10)MR², guscio sferico (2/3)MR², parallelepipedo M(a² + b²)/12.Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripli →, Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →.

Testo. Una sfera di raggio $R$ ha densità che decresce linearmente dal centro alla superficie: $\mu(x,y,z)=\mu_0\left(1-\frac{\rho}{R}\right)$, con $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ e $\mu_0>0$ costante.

1. Calcolare massa e baricentro.
2. Calcolare il momento d'inerzia rispetto a un diametro.
3. Confrontarlo con quello di una sfera omogenea della stessa massa e dello stesso raggio. Esempio numerico con $R=0{,}1$ m e $\mu_0=2000$ kg/m$^3$.

(Esercizio proposto per questo corso, sul modello dei fogli di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2.)

Soluzione

La densità dipende solo da $\rho$: coordinate sferiche, con $dx\,dy\,dz=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$.

1. Massa e baricentro. I tre integrali sono indipendenti: $$M=\mu_0\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^R\Big(1-\frac\rho R\Big)\rho^2d\rho=\mu_0\cdot2\pi\cdot2\cdot\Big(\frac{R^3}3-\frac{R^3}4\Big)=4\pi\mu_0\frac{R^3}{12}=\frac{\pi\mu_0R^3}3 .$$ Il baricentro è nell'origine: $E$ e $\mu$ sono simmetrici rispetto ai tre piani coordinati ($\mu$ pari in $x,y,z$), quindi $\iiint x\mu=\iiint y\mu=\iiint z\mu=0$. La densità media è $\frac M{\frac43\pi R^3}=\frac{\mu_0}4$.

2. Momento d'inerzia rispetto all'asse $z$. Con $\delta^2=x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$: $$I_z=\mu_0\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi\int_0^R\Big(1-\frac\rho R\Big)\rho^4d\rho=\mu_0\cdot2\pi\cdot\frac43\cdot\Big(\frac{R^5}5-\frac{R^5}6\Big)=\frac{8\pi\mu_0}3\cdot\frac{R^5}{30}=\frac{4\pi\mu_0R^5}{45},$$ usando $\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi=\frac43$. Per simmetria è il momento rispetto a qualunque diametro. Espresso in $M$ e $R$: $$I_z=\frac{4\pi\mu_0R^5}{45}=\frac4{45}\cdot3M\,R^2=\frac4{15}MR^2 ,$$ usando $\pi\mu_0R^3=3M$ dal punto 1.

3. Confronto. La sfera omogenea ha $\frac25MR^2$. Il rapporto è $\frac{4/15}{2/5}=\frac23$: con la stessa massa il momento è un terzo più piccolo, perché la massa è concentrata verso il centro. Numeri con $R=0{,}1$ m, $\mu_0=2000$ kg/m$^3$: $M=\frac{\pi\cdot2000\cdot10^{-3}}3\approx2{,}094$ kg; $I_z=\frac4{15}\cdot2{,}094\cdot0{,}01\approx5{,}59\cdot10^{-3}$ kg$\,$m$^2$ contro $\frac25\cdot2{,}094\cdot0{,}01\approx8{,}38\cdot10^{-3}$ kg$\,$m$^2$ della sfera omogenea. Il raggio d'inerzia è $\sqrt{\frac4{15}}R\approx0{,}516R$ contro $\sqrt{\frac25}R\approx0{,}632R$.

Errori tipici. Dimenticare $\sin^2\varphi$ in $\delta^2$ (si calcolerebbe $\iiint\rho^2\mu$, che vale $\frac32$ del momento giusto: $\frac{4\pi\mu_0R^5}{45}\cdot\frac32=\frac{2\pi\mu_0R^5}{15}$); sbagliare l'integrale in $\rho$ lasciando fuori il peso $\rho^2$ o $\rho^4$; esprimere $I$ con la massa della sfera omogenea invece di quella vera.