Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 118 · cavo di rame, corrente e velocità di deriva

Esercizio 118cavo di rame, corrente e velocità di deriva

In questa pagina 6

Testo. Un cavo di rame lungo L=20 mL = 20\ \text{m} e di diametro d=1,6 mmd = 1{,}6\ \text{mm} alimenta un utilizzatore (per esempio un piccolo motore) con una corrente i=15 Ai = 15\ \text{A}. Per il rame ρ=1,68⋅10−8 Ω m\rho = 1{,}68\cdot 10^{-8}\ \Omega\,\text{m} e il numero di elettroni di conduzione per unità di volume è n=8,49⋅1028 m−3n = 8{,}49\cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}. Determinare:

a) la resistenza del cavo, la differenza di potenziale ai suoi capi e la potenza dissipata;

b) il campo elettrico nel filo e la densità di corrente;

c) la velocità di deriva degli elettroni e il tempo che impiega un elettrone a percorrere tutto il cavo;

d) la carica e il numero di elettroni che passano in una sezione in un minuto.

Teoria: Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1La corrente elettrica i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo (ampere); ha il verso del moto delle cariche positive. In un conduttore ohmico V = R i, con R = ρ L / A. La potenza dissipata per effetto Joule è P = V i = R i² = V² / R e l'energia in un tempo t è P t.Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1 →.

a) Resistenza, caduta di tensione, potenza

Sezione del filo (cerchio di diametro 1,61{,}6 mm, raggio 0,80{,}8 mm =0,8⋅10−3= 0{,}8\cdot 10^{-3} m):

A=π(d2)2=π (0,8⋅10−3)2=2,01⋅10−6 m2A = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi\,(0{,}8\cdot 10^{-3})^2 = 2{,}01\cdot 10^{-6}\ \text{m}^2

Resistenza (R=ρL/AR = \rho L/A):

R=1,68⋅10−8⋅202,01⋅10−6=0,167 ΩR = 1{,}68\cdot 10^{-8}\cdot\frac{20}{2{,}01\cdot 10^{-6}} = 0{,}167\ \Omega

Caduta di tensione (legge di Ohm) e potenza dissipata per effetto Joule:

ΔV=R i=0,167⋅15=2,51 VP=R i2=0,167⋅152=37,6 W\Delta V = R\,i = 0{,}167\cdot 15 = 2{,}51\ \text{V} \qquad P = R\,i^2 = 0{,}167\cdot 15^2 = 37{,}6\ \text{W}

La stessa potenza si ottiene come ΔV⋅i=2,51⋅15=37,6\Delta V\cdot i = 2{,}51\cdot 15 = 37{,}6 W ✓. È energia persa in calore nel cavo: 37,637{,}6 J ogni secondo, che a 1515 A su 20 m si ritrova come riscaldamento del cavo.

b) Campo e densità di corrente

Il campo nel filo (uniforme, lungo il filo) è la caduta di potenziale per unità di lunghezza:

E=ΔVL=2,5120=0,125 V/mE = \frac{\Delta V}{L} = \frac{2{,}51}{20} = 0{,}125\ \text{V/m}

Densità di corrente j=i/Aj = i/A:

j=152,01⋅10−6=7,46⋅106 A/m2j = \frac{15}{2{,}01\cdot 10^{-6}} = 7{,}46\cdot 10^{6}\ \text{A/m}^2

Verifica: j=E/ρ=0,125/1,68⋅10−8=7,46⋅106j = E/\rho = 0{,}125/1{,}68\cdot 10^{-8} = 7{,}46\cdot 10^{6} A/m2^2 ✓ (forma locale della legge di Ohm).

c) Velocità di deriva e tempo di percorrenza

Da i=n e A vdi = n\,e\,A\,v_d:

vd=in e A=158,49⋅1028⋅1,602⋅10−19⋅2,01⋅10−6=5,5⋅10−4 m/sv_d = \frac{i}{n\,e\,A} = \frac{15}{8{,}49\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 2{,}01\cdot 10^{-6}} = 5{,}5\cdot 10^{-4}\ \text{m/s}

cioè 0,550{,}55 mm/s. Il tempo per percorrere i 2020 m del cavo, a questa velocità:

t=Lvd=205,5⋅10−4=3,6⋅104 s≈10 oret = \frac{L}{v_d} = \frac{20}{5{,}5\cdot 10^{-4}} = 3{,}6\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 10\ \text{ore}

Un singolo elettrone impiega dieci ore ad attraversare il cavo, eppure il motore parte subito: ciò che si propaga rapidamente è il campo elettrico, che mette in moto tutti gli elettroni del filo quasi simultaneamente.

d) Carica in un minuto

q=i Δt=15⋅60=900 CN=qe=9001,602⋅10−19=5,6⋅1021 elettroniq = i\,\Delta t = 15\cdot 60 = 900\ \text{C} \qquad N = \frac{q}{e} = \frac{900}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 5{,}6\cdot 10^{21}\ \text{elettroni}

Gli elettroni che attraversano una sezione in un minuto sono molti, ma ognuno si sposta pochissimo.

Risultati

grandezza valore
a) resistenza 0,167 Ω0{,}167\ \Omega
a) caduta di tensione 2,51 V2{,}51\ \text{V}
a) potenza dissipata 37,6 W37{,}6\ \text{W}
b) campo nel filo 0,125 V/m0{,}125\ \text{V/m}
b) densità di corrente 7,46⋅106 A/m27{,}46\cdot 10^{6}\ \text{A/m}^2
c) velocità di deriva 5,5⋅10−4 m/s5{,}5\cdot 10^{-4}\ \text{m/s} (≈\approx 1010 ore per 2020 m)
d) carica in un minuto 900 C900\ \text{C}, 5,6⋅10215{,}6\cdot 10^{21} elettroni

Errori comuni

  • Usare il diametro al posto del raggio nell'area (errore di un fattore 44).
  • Non convertire mm in m (1,61{,}6 mm =1,6⋅10−3= 1{,}6\cdot 10^{-3} m).
  • Pensare che la velocità di deriva sia la velocità del segnale.
  • Dimenticare di elevare ii al quadrato in P=Ri2P = Ri^2.

Versione ripasso

Testo. Cavo di rame, L=20L = 20 m, d=1,6d = 1{,}6 mm, i=15i = 15 A, ρ=1,68⋅10−8 Ω\rho = 1{,}68\cdot 10^{-8}\ \Omega m, n=8,49⋅1028n = 8{,}49\cdot 10^{28} m⁻³. Resistenza, caduta di tensione e potenza; campo e densità di corrente; velocità di deriva e tempo di percorrenza; carica in un minuto.

Soluzione

(Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1La corrente elettrica i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo (ampere); ha il verso del moto delle cariche positive. In un conduttore ohmico V = R i, con R = ρ L / A. La potenza dissipata per effetto Joule è P = V i = R i² = V² / R e l'energia in un tempo t è P t.Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1 →)

  • A=π(d/2)2=2,01⋅10−6A = \pi(d/2)^2 = 2{,}01\cdot 10^{-6} m²; R=ρL/A=0,167 ΩR = \rho L/A = 0{,}167\ \Omega; ΔV=Ri=2,51\Delta V = Ri = 2{,}51 V; P=Ri2=37,6P = Ri^2 = 37{,}6 W.
  • E=ΔV/L=0,125E = \Delta V/L = 0{,}125 V/m; j=i/A=7,46⋅106j = i/A = 7{,}46\cdot 10^{6} A/m² =E/ρ= E/\rho.
  • vd=i/(neA)=5,5⋅10−4v_d = i/(neA) = 5{,}5\cdot 10^{-4} m/s; t=L/vd=3,6⋅104t = L/v_d = 3{,}6\cdot 10^{4} s ≈10\approx 10 ore (il campo si propaga rapidamente, gli elettroni no).
  • q=iΔt=900q = i\Delta t = 900 C, N=q/e=5,6⋅1021N = q/e = 5{,}6\cdot 10^{21} elettroni.

Errori tipici: diametro al posto del raggio; mm non convertiti; vdv_d scambiata con la velocità del segnale.

Teoria collegata