Esercizio 114potenziale assegnato, campo e oscillazioni di un protone

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a) Campo e forza

Il campo si ricava dal potenziale con $E_x = -dV/dx$:

$$E_x(x) = -\frac{d}{dx}\left(Ax^2 - Bx\right) = -2Ax + B$$

Nell'origine $E_x(0) = B = 1{,}2\cdot 10^{3}\ \text{V/m}$ (verso $+x$). La forza sul protone è $F = eE = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}2\cdot 10^{3} = 1{,}92\cdot 10^{-16}\ \text{N}$, verso $+x$. Lungo l'asse il campo varia linearmente: è una forza richiamante verso il punto dove $E=0$, di tipo elastico.

b) Equilibrio

La forza si annulla dove $E_x = 0$:

$$-2Ax_0 + B = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \frac{B}{2A} = \frac{1{,}2\cdot 10^{3}}{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{3}} = 0{,}15\ \text{m}$$

L'energia potenziale del protone è $U(x) = eV(x)$, proporzionale a $V$. In $x_0$:

$$V(x_0) = A x_0^2 - Bx_0 = 4{,}0\cdot 10^{3}\cdot 0{,}0225 - 1{,}2\cdot 10^{3}\cdot 0{,}15 = 90 - 180 = -90\ \text{V}$$

Poiché $V''(x) = 2A>0$, $V$ ha un minimo in $x_0$ e quindi $U = eV$ ha un minimo: l'equilibrio è stabile (Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →). Per una carica negativa, che ha $U = -eV$, sarebbe un massimo: equilibrio instabile.

c) Lavoro e velocità massima

Il lavoro del campo da $x = 0$ ($V = 0$) a $x_0$ ($V = -90$ V) è

$$W = e\,(V(0) - V(x_0)) = e\cdot(0 + 90) = 90\ \text{eV} = 1{,}44\cdot 10^{-17}\ \text{J}$$

Positivo: il protone "scende" lungo il potenziale. Poiché parte da fermo, l'energia cinetica in $x_0$ è $W$, e questa è la massima (l'energia potenziale è minima lì):

$$v_{\max} = \sqrt{\frac{2W}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}44\cdot 10^{-17}}{1{,}673\cdot 10^{-27}}} = 1{,}31\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$$

d) Moto del protone

L'energia $K + eV$ si conserva e vale $eV(0) = 0$. Il protone si ferma dove $V(x) = 0$:

$$Ax^2 - Bx = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{ oppure }\ x = \frac{B}{A} = 0{,}30\ \text{m}$$

Quindi oscilla tra $x = 0$ e $x = 0{,}30$ m, simmetricamente attorno a $x_0 = 0{,}15$ m (ampiezza $0{,}15$ m). L'equazione del moto è $m_p\ddot x = eE_x = e(B - 2Ax)$, cioè con $u = x - x_0$:

$$m_p\ddot u = -2Ae\,u \quad\Longrightarrow\quad \ddot u = -\omega^2 u \qquad \omega = \sqrt{\frac{2Ae}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{3}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}}{1{,}673\cdot 10^{-27}}} = 8{,}75\cdot 10^{5}\ \text{rad/s}$$

È un moto armonico semplice esatto (e non solo per piccole oscillazioni, perché la forza è esattamente lineare). Il periodo è

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{8{,}75\cdot 10^{5}} = 7{,}18\cdot 10^{-6}\ \text{s}$$

Controllo. Velocità massima del moto armonico: $\omega\cdot(\text{ampiezza}) = 8{,}75\cdot 10^{5}\cdot 0{,}15 = 1{,}31\cdot 10^{5}$ m/s ✓ (coincide con il punto c).

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Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il segno meno in $E = -dV/dx$.
• Cercare l'equilibrio dove $V = 0$ invece che dove $dV/dx = 0$.
• Dire che l'equilibrio è stabile per ogni carica: dipende dal segno di $q$ ($U = qV$).
• Usare il lavoro $eV(x_0)$ senza sottrarre il potenziale iniziale.