Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1

Dopo Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1Il campo elettrico E = F/q0 è la forza per unità di carica che una carica ferma subirebbe in quel punto; per una carica puntiforme E = k q / r² (radiale, uscente se q > 0), e per più cariche i campi si sommano come vettori. Una distribuzione continua si tratta con dq = λ dl, σ dS, ρ dV; sull'asse di un anello E = k Q z / (z² + R²)^(3/2). Una carica q in un campo uniforme ha accelerazione a = qE/m.Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1 →. Seguito: Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 → e Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, il potenziale è lo stesso in tutto il conduttore, la carica sta solo sulla superficie e il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie con modulo E = σ / ε0. Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q ha V = k Q / R sulla superficie; due sfere collegate hanno lo stesso potenziale, quindi la più piccola ha il campo superficiale più intenso (effetto delle punte). Una cavità chiusa è schermata dai campi esterni.Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 108 · due fili carichi paralleli, Esercizio 109 · due piani carichi e un protone, Esercizio 110 · elettrone in orbita attorno a un filo carico.

Flusso del campo elettrico

Il flusso di $\vec E$ attraverso una superficie $S$ misura quanto campo la attraversa. Per una superficie piana di area $S$ in un campo uniforme:

$$\Phi = E\,S\cos\theta$$

con $\theta$ angolo tra il campo e la normale $\hat n$ alla superficie. In generale $\Phi = \int_S \vec E\cdot\hat n\,dS$, con $\hat n$ uscente se la superficie è chiusa. Unità: N m²/C.

• campo perpendicolare alla superficie: $\Phi = ES$ (massimo);
• campo parallelo alla superficie: $\Phi = 0$ (non entra né esce).

Le linee di campo uscenti contano come flusso positivo, quelle entranti come flusso negativo.

Legge di Gauss

Legge (Gauss). Il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica contenuta all'interno, divisa per $\varepsilon_0$: $$\Phi(\vec E) = \oint \vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$

Osservazioni:

• $E$ è il campo totale, dovuto a tutte le cariche (interne ed esterne); ma il flusso dipende solo dalle cariche interne (il campo di una carica esterna entra da una parte e esce dall'altra: contributo netto nullo);
• se $Q_{\text{int}} = 0$ il flusso è nullo, anche se il campo non è nullo sulla superficie;
• è equivalente alla legge di Coulomb: per una carica puntiforme e una sfera di raggio $r$ centrata in essa, per simmetria $E$ è costante e radiale, quindi $E\cdot 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$, cioè $E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2) = kq/r^2$ ✓.

Quando serve. La legge è sempre vera, ma per ricavare $E$ da $Q_{\text{int}}$ serve una simmetria che permetta di portare $E$ fuori dall'integrale. Metodo:

1. dalla simmetria si deduce la direzione di $\vec E$ e da cosa dipende il suo modulo;
2. si sceglie una superficie gaussiana chiusa tale che su ogni sua parte $\vec E$ sia o perpendicolare alla superficie con modulo costante (flusso $= E\cdot$ area) o parallelo (flusso nullo);
3. si calcola il flusso $\Phi$ e la carica interna $Q_{\text{int}}$;
4. si impone $\Phi = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ e si ricava $E$.

Filo rettilineo infinito

Un filo infinito con densità lineare di carica $\lambda$ costante. Per simmetria il campo è radiale (perpendicolare al filo) e il suo modulo dipende solo dalla distanza $r$ dal filo (non c'è direzione preferita lungo il filo, perché è infinito, né angolare, perché ha simmetria cilindrica).

Superficie gaussiana: cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $h$.

• Sulla superficie laterale ($2\pi r h$) il campo è perpendicolare e costante: flusso $E\cdot 2\pi r h$.
• Sulle due basi il campo è parallelo alla superficie: flusso nullo.
• Carica interna: $Q_{\text{int}} = \lambda h$.

$$E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r} = \frac{2k\lambda}{r}}$$

Il campo cala come $1/r$ (non $1/r^2$) ed è uscente per $\lambda>0$, entrante per $\lambda<0$.

Esempio. $\lambda = 2{,}0$ nC/m a $r = 10$ cm: $E = 2\cdot 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{2{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}10} = 360\ \text{N/C}$. Un filo di lunghezza finita $\ell$ si comporta come infinito solo vicino al filo e lontano dalle estremità ($r\ll\ell$).

Piano infinito

Un piano infinito con densità superficiale $\sigma$ costante. Per simmetria $\vec E$ è perpendicolare al piano, uscente per $\sigma>0$ da entrambi i lati, e ha lo stesso modulo in punti alla stessa distanza dal piano (da lati opposti i campi sono simmetrici).

Superficie gaussiana: cilindretto con asse perpendicolare al piano, che lo attraversa, con due basi di area $S$ a distanza uguale dai due lati.

• Basi: campo perpendicolare, flusso $E S + E S = 2ES$.
• Superficie laterale: campo parallelo, flusso nullo.
• $Q_{\text{int}} = \sigma S$ (il tratto di piano dentro il cilindretto).

$$2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$

Il campo è uniforme (non dipende dalla distanza dal piano), uscente se $\sigma>0$. Un piano finito si comporta così vicino al piano e lontano dai bordi.

Esempio. $\sigma = 5{,}0$ nC/m²: $E = \dfrac{5{,}0\cdot 10^{-9}}{2\cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}} = 282\ \text{N/C}$.

Due piani paralleli con cariche opposte

Si somma il campo dei due piani (sovrapposizione). Se hanno densità $+\sigma$ e $-\sigma$:

• tra i piani i campi hanno lo stesso verso (uscente dal positivo, entrante nel negativo): $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$;
• fuori hanno versi opposti e si cancellano: $E = 0$.

È la configurazione del condensatore piano: campo uniforme confinato tra le armature. In generale con $\sigma_1$ e $\sigma_2$ qualsiasi, in ogni zona $E = \sum \pm\sigma_i/(2\varepsilon_0)$, con il segno positivo se il piano $i$ spinge il campo nel verso scelto positivo.

Cenno: sfera

Per una distribuzione a simmetria sferica la superficie gaussiana è una sfera concentrica di raggio $r$: $E\cdot 4\pi r^2 = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$. Fuori da una sfera di carica totale $Q$ il campo è quello di una carica puntiforme $kQ/r^2$. Dentro una sfera isolante uniformemente carica, con densità $\rho$, $Q_{\text{int}} = \rho\frac43\pi r^3$ e quindi $E = \dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}$, lineare in $r$.

Riassunto

Errori comuni

• Applicare Gauss senza simmetria: la legge vale sempre, ma da sola non dà $E$.
• Contare solo una base del cilindretto per il piano (le basi sono due, flusso $2ES$).
• Includere nella $Q_{\text{int}}$ cariche esterne alla superficie.
• Dimenticare che il campo del piano non dipende dalla distanza, mentre quello del filo cala come $1/r$.
• Sommare i campi dei due piani con lo stesso segno anche fuori dallo spazio tra i piani.

Domande d'esame

1. Enunciare la legge di Gauss e ricavare il campo di un filo infinito. Risposta: $\oint\vec E\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$; cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $h$: $2\pi r h\,E = \lambda h/\varepsilon_0$, $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$.
2. Perché il campo di un piano infinito non dipende dalla distanza? Risposta: allontanandosi il piano "si vede" sotto un angolo solido più piccolo, ma sono coinvolte più cariche; i due effetti si compensano. Con Gauss: il flusso attraverso le basi è $2ES$ qualunque sia l'altezza del cilindretto.
3. Quanto vale il campo tra due piani con densità $+\sigma$ e $-\sigma$ e fuori? Risposta: $\sigma/\varepsilon_0$ tra i piani, $0$ fuori.