Esercizio 101due sferette cariche appese a fili

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Impostazione

Le due sferette sono simmetriche: basta studiare una. Su ciascuna agiscono tre forze.

• Il peso $m\vec g$, verticale verso il basso.
• La tensione $\vec T$ del filo, diretta lungo il filo verso il punto di sospensione, quindi inclinata di $\theta$ rispetto alla verticale.
• La forza di Coulomb $\vec F$ dovuta all'altra sferetta: orizzontale, verso l'esterno (repulsione).

Il sistema è fermo: la risultante è nulla, quindi si proiettano le forze sugli assi (orizzontale e verticale):

$$T\cos\theta = mg \qquad T\sin\theta = F$$

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a) Distanza e forza elettrica

Le sferette e il punto di sospensione formano un triangolo isoscele con i lati uguali a $L$ e l'angolo al vertice $2\theta$. Dividendolo a metà, ciascuna sferetta dista dall'asse verticale $L\sin\theta$, quindi

$$d = 2L\sin\theta = 2\cdot 0{,}50\cdot\sin 10^\circ = 0{,}1736\ \text{m}$$

La forza elettrica si ottiene dividendo membro a membro le due equazioni di equilibrio (la tensione si elimina):

$$\frac{T\sin\theta}{T\cos\theta} = \frac{F}{mg} \quad\Longrightarrow\quad F = mg\tan\theta = 2{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81\cdot\tan 10^\circ = 3{,}46\cdot 10^{-3}\ \text{N}$$

b) Carica e tensione

Per la legge di Coulomb tra due cariche uguali $q$ a distanza $d$:

$$F = k\frac{q^2}{d^2} \quad\Longrightarrow\quad q = d\sqrt{\frac{F}{k}} = 0{,}1736\cdot\sqrt{\frac{3{,}46\cdot 10^{-3}}{8{,}988\cdot 10^{9}}} = 1{,}08\cdot 10^{-7}\ \text{C} = 108\ \text{nC}$$

(Le due cariche hanno lo stesso segno, che il problema non fissa: il risultato vale per entrambi.)

La tensione si ricava dall'equazione verticale:

$$T = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{2{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81}{\cos 10^\circ} = 1{,}99\cdot 10^{-2}\ \text{N}$$

Controllo con l'orizzontale: $T\sin\theta = 1{,}99\cdot 10^{-2}\cdot 0{,}1736 = 3{,}46\cdot 10^{-3}$ N $= F$ ✓. La tensione è poco più del peso ($1{,}96\cdot 10^{-2}$ N) perché l'angolo è piccolo.

c) Angolo con carica ridotta

Ora la distanza è $d = 2L\sin\theta'$ e la forza elettrica è $F' = k q'^2/(2L\sin\theta')^2$. Il rapporto $F/mg = \tan\theta'$ dà l'equazione

$$\frac{k\,q'^2}{4L^2\sin^2\theta'} = mg\tan\theta' \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta'\,\tan\theta' = \frac{k\,q'^2}{4L^2\,mg}$$

Il secondo membro vale $$\frac{8{,}988\cdot 10^{9}\cdot(50\cdot 10^{-9})^2}{4\cdot 0{,}25\cdot 2{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81} = 1{,}145\cdot 10^{-3}$$

L'equazione non si risolve in forma chiusa. Per angoli piccoli $\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta$ e diventa $\theta'^3 = 1{,}145\cdot 10^{-3}$, cioè $\theta'\approx 0{,}1046$ rad $=6{,}0^\circ$. Risolvendo numericamente senza approssimare si ottiene $\theta' = 5{,}99^\circ$ (distanza $d' = 0{,}104$ m): l'approssimazione è ottima.

Controllo qualitativo. Dimezzando circa la carica ($108\to 50$ nC) la forza scende di un fattore $\sim 4{,}7$ a parità di distanza, quindi le sferette si avvicinano: l'angolo diminuisce da $10^\circ$ a $6^\circ$ ✓.

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Risultati

Errori comuni

• Usare $L$ come distanza tra le sferette invece di $d = 2L\sin\theta$.
• Scrivere $T = mg$: la tensione sostiene il peso con la sua componente verticale $T\cos\theta$.
• Dimenticare di elevare al quadrato la distanza nella formula di Coulomb.
• Mettere $\theta$ in radianti nel calcolo di $\sin$ e $\tan$ con la calcolatrice in gradi (o viceversa).