Esercizio 112due protoni che si avvicinano

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Testo. Due protoni ( $m_p = 1{,}673\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ , carica $+e$ ) partono da grandissima distanza lungo la stessa retta, uno verso l'altro, ciascuno con velocità $v_0 = 2{,}0\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ rispetto al laboratorio. Si trascurano la radiazione e ogni altra forza oltre alla repulsione coulombiana. Determinare:

a) l'energia cinetica totale iniziale (in J e in keV);

b) la distanza minima $d_{\min}$ tra i protoni;

c) la forza e l'accelerazione di ciascun protone nell'istante di massimo avvicinamento;

d) la distanza minima nel caso in cui un protone sia inizialmente fermo e l'altro arrivi con velocità $2v_0$ .

Teoria: Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1, Conservazione dell'energia meccanica.

Impostazione

La forza è conservativa: si conserva l'energia meccanica del sistema, somma delle energie cinetiche e dell'energia potenziale di coppia $U = ke^2/r$ (nulla a distanza infinita).

All'istante di massimo avvicinamento la distanza smette di diminuire: le due velocità lungo la retta si annullano. Qui c'è un'ulteriore informazione: per simmetria (stesse masse, stesse velocità opposte) la quantità di moto totale è nulla, quindi in quell'istante entrambi i protoni sono fermi (Conservazione della quantità di moto).

a) Energia iniziale

$K_{\text{tot}} = 2\cdot\tfrac12 m_p v_0^2 = m_p v_0^2 = 1{,}673\cdot 10^{-27}\cdot(2{,}0\cdot 10^{6})^2 = 6{,}69\cdot 10^{-15}\ \text{J}$

In keV: $\dfrac{6{,}69\cdot 10^{-15}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 4{,}18\cdot 10^{4}\ \text{eV} = 41{,}8\ \text{keV}$ . A grande distanza l'energia potenziale è nulla.

b) Distanza minima

Al massimo avvicinamento tutta l'energia cinetica è diventata potenziale:

$K_{\text{tot}} = \frac{k e^2}{d_{\min}} \quad\Longrightarrow\quad d_{\min} = \frac{k e^2}{m_p v_0^2} = \frac{8{,}988\cdot 10^{9}\cdot(1{,}602\cdot 10^{-19})^2}{6{,}69\cdot 10^{-15}} = \frac{2{,}307\cdot 10^{-28}}{6{,}69\cdot 10^{-15}} = 3{,}45\cdot 10^{-14}\ \text{m}$

pari a $34{,}5$ fm (il raggio di un nucleo piccolo è dell'ordine di $1$ - $5$ fm: serve un'energia molto più alta per fondere due protoni).

c) Forza e accelerazione

$F = \frac{k e^2}{d_{\min}^2} = \frac{2{,}307\cdot 10^{-28}}{(3{,}45\cdot 10^{-14})^2} = 0{,}194\ \text{N} \qquad a = \frac{F}{m_p} = \frac{0{,}194}{1{,}673\cdot 10^{-27}} = 1{,}16\cdot 10^{26}\ \text{m/s}^2$

Una forza piccola in senso assoluto, ma su una massa minuscola produce un'accelerazione enorme. Le due forze sono uguali e opposte (terzo principio): ogni protone viene rimbalzato indietro.

d) Un protone fermo, l'altro con velocità $2v_0$

Nel riferimento del laboratorio la quantità di moto totale non è nulla: nell'istante di massimo avvicinamento i protoni non sono fermi, ma si muovono insieme con la velocità del centro di massa $v_{CM} = (0 + 2v_0)/2 = v_0$ . L'energia disponibile per la repulsione è quindi solo l'energia cinetica nel riferimento del centro di massa (Teoremi di König ed energia di un sistema):

$K_{\text{rel}} = K_{\text{tot}} - \tfrac12(2m_p)v_{CM}^2 = \tfrac12 m_p (2v_0)^2 - m_p v_0^2 = 2m_pv_0^2 - m_pv_0^2 = m_p v_0^2$

Lo stesso valore del caso a. Quindi $d_{\min}$ non cambia: $3{,}45\cdot 10^{-14}$ m. Dipende solo dalla velocità relativa ( $2v_0$ in entrambi i casi), come deve essere, perché i due casi differiscono solo per un cambio di riferimento (trasformazione galileiana, Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento).

Risultati

grandezza	valore
a) energia cinetica totale	$6{,}69\cdot 10^{-15}\ \text{J} = 41{,}8\ \text{keV}$
b) distanza minima	$3{,}45\cdot 10^{-14}\ \text{m}$
c) forza su ciascun protone	$0{,}194\ \text{N}$
c) accelerazione	$1{,}16\cdot 10^{26}\ \text{m/s}^2$
d) distanza minima (uno fermo)	$3{,}45\cdot 10^{-14}\ \text{m}$ (uguale)

Errori comuni

Usare $\tfrac12 m_p v_0^2$ invece di $2\cdot\tfrac12 m_pv_0^2$ nel bilancio: in a si muovono entrambi.
Nel caso d, imporre che tutta l'energia cinetica si trasformi in potenziale: una parte resta come energia cinetica del centro di massa.
Dimenticare di elevare $e$ al quadrato nel prodotto $ke^2$ .

Versione ripasso

Testo. Due protoni partono da distanza infinita con velocità opposte $v_0 = 2{,}0\cdot 10^{6}$ m/s. Energia iniziale, distanza minima, forza e accelerazione alla distanza minima; distanza minima se uno è fermo e l'altro ha velocità $2v_0$ .

Soluzione

Si conserva l'energia ( $U = ke^2/r$ ) e, per simmetria, i protoni sono fermi al massimo avvicinamento (Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1, Conservazione della quantità di moto).

$K_{\text{tot}} = m_pv_0^2 = 6{,}69\cdot 10^{-15}$ J $= 41{,}8$ keV.
$d_{\min} = ke^2/(m_pv_0^2) = 3{,}45\cdot 10^{-14}$ m.
$F = ke^2/d_{\min}^2 = 0{,}194$ N; $a = F/m_p = 1{,}16\cdot 10^{26}$ m/s².
Uno fermo, l'altro a $2v_0$ : serve l'energia nel riferimento del CM (Teoremi di König ed energia di un sistema), $K_{\text{rel}} = m_pv_0^2$ , uguale a prima; stessa $d_{\min}$ (dipende solo dalla velocità relativa).

Errori tipici: usare l'energia di un solo protone; in d usare tutta l'energia cinetica; $e$ non al quadrato.