Esercizio 125moto a elica in coordinate cilindriche

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Impostazione

Derivate: $\rho = 0{,}50$ (quindi $\dot\rho = \ddot\rho = 0$), $\dot\varphi = \omega = 4{,}0$ rad/s (quindi $\ddot\varphi = 0$), $\dot z = c = 0{,}30$ m/s e $\ddot z = 0$.

a) Velocità

$$v_\rho = \dot\rho = 0 \qquad v_\varphi = \rho\dot\varphi = 0{,}50\cdot 4{,}0 = 2{,}0\ \text{m/s} \qquad v_z = \dot z = 0{,}30\ \text{m/s}$$

$$v = \sqrt{v_\varphi^2 + v_z^2} = \sqrt{4{,}0 + 0{,}09} = 2{,}02\ \text{m/s}$$

Il modulo della velocità è costante (nessuna componente varia nel tempo), anche se il vettore velocità ruota.

b) Accelerazione

$$a_\rho = \ddot\rho - \rho\dot\varphi^2 = 0 - 0{,}50\cdot 16 = -8{,}0\ \text{m/s}^2$$

$$a_\varphi = \rho\ddot\varphi + 2\dot\rho\dot\varphi = 0 \qquad a_z = \ddot z = 0$$

L'accelerazione è puramente centripeta, orizzontale e diretta verso l'asse, di modulo $a = \rho\omega^2 = 8{,}0\ \text{m/s}^2$ (circa $0{,}82\,g$). Il moto verticale è uniforme e non contribuisce.

c) Periodo, passo, inclinazione

Il periodo di rotazione (un giro di $2\pi$ rad): $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4{,}0} = 1{,}57\ \text{s}$$

Il passo $p$ è la quota guadagnata in un periodo: $$p = cT = 0{,}30\cdot 1{,}57 = 0{,}471\ \text{m}$$

L'angolo $\alpha$ tra la velocità e il piano orizzontale: la componente orizzontale è $v_\varphi$, quella verticale $v_z$: $$\tan\alpha = \frac{v_z}{v_\varphi} = \frac{0{,}30}{2{,}0} = 0{,}15 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 8{,}5^\circ$$

È costante: tutte le tangenti dell'elica formano lo stesso angolo con l'orizzontale.

d) Raggio di curvatura e lunghezza

La velocità è costante in modulo, quindi $a_T = 0$ e tutta l'accelerazione è normale: $a_N = a = 8{,}0$ m/s$^2$. Dal legame $a_N = v^2/R_c$:

$$R_c = \frac{v^2}{a_N} = \frac{4{,}09}{8{,}0} = 0{,}511\ \text{m}$$

poco maggiore del raggio dell'elica $\rho = 0{,}50$ m, perché la traiettoria è inclinata: l'elica è meno curva della circonferenza che ne è la proiezione. In generale per un'elica $R_c = \rho\,(1 + (c/\rho\omega)^2)$; qui $0{,}50\cdot 1{,}0225 = 0{,}511$ ✓.

La lunghezza di un giro è lo spazio percorso in un periodo a velocità costante: $$\ell = vT = 2{,}02\cdot 1{,}57 = 3{,}18\ \text{m}$$

controllo con il teorema di Pitagora sul "cilindro srotolato": $\sqrt{(2\pi\rho)^2 + p^2} = \sqrt{3{,}14^2 + 0{,}471^2} = 3{,}18$ m ✓.

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Risultati

Errori comuni

• Dire che l'accelerazione è nulla perché il modulo della velocità è costante: il vettore cambia direzione.
• Usare $R_c = \rho$: vale solo se il moto è nel piano; con la componente verticale il raggio di curvatura è maggiore.
• Dimenticare di sommare in quadratura la componente verticale per il modulo della velocità.