Moto di puro rotolamento

Prima: Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →, Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →. Usa l'attrito statico (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →) e il Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →. Seguito: Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →. Esercizi: Esercizio 61 · disco che rotola su una piattaforma trattenuta da un filo, Esercizio 62 · disco spinto da una forza orizzontale su un piano inclinato, Esercizio 64 · disco che rotola e urta un'asta imperniata.

Il vincolo di rotolamento

Un corpo a sezione circolare (disco, cilindro, sfera, anello) di raggio $R$ si muove su una superficie. Il moto è una rototraslazione: il centro $C$ (che coincide con il CM, per simmetria) trasla con velocità $v_C$ e il corpo ruota attorno a $C$ con velocità angolare $\omega$.

La velocità del punto $P$ a contatto con il piano è, per la formula delle velocità di un corpo rigido (Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →),

$$\vec v_P = \vec v_C + \vec\omega\times\overrightarrow{CP}$$

Il punto più basso ha velocità di rotazione $\omega R$ diretta all'indietro rispetto al moto del centro, quindi $v_P = v_C - \omega R$ (con versi positivi: avanti per $v_C$, e la rotazione che fa andare avanti la ruota per $\omega$).

Si ha puro rotolamento (rotolamento senza strisciare) quando il punto di contatto è fermo:

Condizione (puro rotolamento). $$\boxed{v_C = \omega R} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a_C = \alpha R} \quad \text{(derivando)}$$

Esempio. Ruota di raggio $R = 0{,}3$ m con $v_C = 6$ m/s: $\omega = \frac{6}{0{,}3} = 20\ \text{rad/s}$; il punto più alto va a $2v_C = 12$ m/s.

Significato: quando la ruota fa un giro completo ($\Delta\theta = 2\pi$), il centro avanza esattamente di una circonferenza, $2\pi R$: la ruota "srotola" il suo bordo sul piano senza scivolare. Se invece $v_C \ne \omega R$ il punto di contatto striscia (una ruota che slitta sul ghiaccio, o che pattina in partenza).

Attenzione: ogni punto ha una velocità diversa.

Il punto più alto di una ruota di bicicletta va al doppio della velocità della bicicletta: per questo nelle foto i raggi in alto sono sfocati e quelli in basso nitidi.

Asse istantaneo di rotazione

Visto che $P$ è fermo, in ogni istante il moto del corpo è una pura rotazione attorno all'asse passante per $P$ (perpendicolare al piano del moto), con la stessa $\omega$: ogni punto $Q$ ha velocità $\vec v_Q = \vec\omega\times\overrightarrow{PQ}$, perpendicolare a $PQ$ e di modulo $\omega\cdot\overline{PQ}$. Si ritrovano i valori della tabella: il punto più alto dista $2R$ da $P$ e ha velocità $2\omega R$.

L'asse è "istantaneo" perché cambia punto del corpo a ogni istante (il punto di contatto è sempre un altro).

Energia cinetica. Due modi equivalenti:

Formula (energia cinetica nel puro rotolamento). $$K = \underbrace{\frac12 m v_C^2 + \frac12 I_C\omega^2}_{\text{König}} = \frac12\big(mR^2 + I_C\big)\omega^2 = \frac12 I_P\,\omega^2$$

con $I_P = I_C + mR^2$ il momento d'inerzia rispetto all'asse per il punto di contatto (Steiner). Per un disco $I_P = \frac32 mR^2$ e $K = \frac34 m v_C^2$: una volta e mezza l'energia di traslazione. Un terzo dell'energia cinetica di un disco che rotola è energia di rotazione.

Esempio. Disco di $M = 2$ kg e $R = 0{,}2$ m con $v = 3$ m/s: $K = \frac12\cdot2\cdot9 + \frac12\cdot0{,}04\cdot15^2 = 9 + 4{,}5 = 13{,}5$ J (cioè $\frac34 Mv^2$).

Dinamica: le due equazioni cardinali

Le forze su un corpo che rotola su un piano: il peso $m\vec g$ (nel centro), la reazione normale $\vec N$ e la forza d'attrito statico $\vec f_s$ (entrambe nel punto di contatto), più eventuali forze applicate.

• Prima equazione cardinale (traslazione del centro): $\vec F^{(e)} = m\,\vec a_C$.
• Seconda equazione cardinale rispetto al centro (asse per il CM, che è lecito anche se si muove): $M_C = I_C\,\alpha$. Peso e reazione normale passano per il centro (la normale è diretta lungo il raggio) e non hanno momento: il momento rispetto al centro è dato solo dall'attrito, $M_C = f_s R$.
• Vincolo: $a_C = \alpha R$.

Perché ci vuole l'attrito. Senza attrito nessuna forza avrebbe momento rispetto al centro, quindi $\alpha = 0$: un disco fermo lasciato su un piano inclinato liscio scivolerebbe senza girare. È l'attrito statico a metterlo in rotazione.

Perché è statico. Il punto di contatto è fermo rispetto al piano, quindi l'attrito è statico: il suo valore non è $\mu N$ ma quello che serve per far rispettare il vincolo, purché sia $|f_s| \le \mu_s N$ (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →).

Disco su un piano inclinato

Disco (o qualsiasi corpo circolare) di massa $m$, raggio $R$, momento d'inerzia $I_C$, su un piano inclinato di $\theta$, lasciato libero. Asse $x$ lungo il piano verso il basso, rotazione positiva quella che fa scendere il disco. L'attrito, diretto verso l'alto lungo il piano (lo si verifica dal segno del risultato):

$$\begin{cases} m a = m g\sin\theta - f_s & \text{(traslazione lungo il piano)}\\ N = m g\cos\theta & \text{(perpendicolare al piano: nessun moto)}\\ f_s R = I_C\,\alpha & \text{(rotazione attorno al centro)}\\ a = \alpha R & \text{(rotolamento)}\end{cases}$$

Dalla terza e dalla quarta $f_s = \frac{I_C}{R^2}a$; sostituendo nella prima:

Formula (accelerazione di un corpo che rotola su un piano inclinato). $$m a = m g\sin\theta - \frac{I_C}{R^2}a \quad\Longrightarrow\quad \boxed{a = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I_C}{m R^2}}}$$

Esempio. Disco ($k = \frac12$) su un piano a $\theta = 30°$: $a = \frac{9{,}81\cdot0{,}5}{1{,}5} = 3{,}27\ \text{m/s}^2$, contro $4{,}91\ \text{m/s}^2$ del blocco che scivola.

$$f_s = \frac{I_C}{R^2}\,a = m g\sin\theta\;\frac{I_C/(mR^2)}{1 + I_C/(mR^2)}$$

Interpretazione. Un corpo che rotola scende più lentamente di un corpo che scivola senza attrito ($a = g\sin\theta$): parte del lavoro del peso va in energia di rotazione. Il numero puro $k = \frac{I_C}{mR^2}$ dice come è distribuita la massa, ed è l'unico che conta: l'accelerazione non dipende né dalla massa né dal raggio.

In una gara di rotolamento sullo stesso piano vince sempre la sfera, poi il disco, poi l'anello, qualunque siano masse e raggi.

Condizione perché ci sia rotolamento. L'attrito necessario non deve superare il massimo: $f_s \le \mu_s N = \mu_s m g\cos\theta$, cioè

Criterio (attrito statico minimo per il rotolamento). $$\mu_s \ge \frac{k}{1 + k}\tan\theta$$

Esempio. Sfera piena ($k = \frac25$) a $\theta = 30°$: $\mu_s \ge \frac{2/5}{7/5}\tan30° = 0{,}165$.

Per un disco $\mu_s \ge \frac13\tan\theta$ (ultima colonna della tabella). Se l'attrito non basta il disco rotola e striscia insieme, e l'attrito diventa dinamico ($f = \mu_d N$).

Il metodo rapido: momenti rispetto al punto di contatto

Si può scrivere la seconda equazione cardinale rispetto al punto di contatto $P$ (è lecito: per il puro rotolamento vale $M_P = I_P\,\alpha$, perché $P$ ha accelerazione diretta verso il centro e lungo la retta $PC$). Rispetto a $P$ attrito e normale hanno momento nullo (sono applicate lì), e resta solo il peso con braccio $R\sin\theta$:

$$m g R\sin\theta = I_P\,\alpha = (I_C + mR^2)\,\frac{a}{R} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{g\sin\theta}{1 + I_C/(mR^2)}$$

Stesso risultato in una riga. È il metodo usato nelle soluzioni dei temi d'esame; poi l'attrito si ricava dalla prima equazione cardinale.

Energia nel rotolamento

L'attrito statico non compie lavoro, perché agisce sul punto di contatto che è fermo ($dW = \vec f_s\cdot\vec v_P\,dt = 0$). Se le altre forze sono conservative, l'energia meccanica si conserva.

Velocità in fondo a un piano. Un disco parte da fermo e scende di una quota $h$ rotolando:

Formula (velocità di un disco che rotola in fondo a un piano). $$m g h = \frac12 m v^2 + \frac12\cdot\frac12 mR^2\Big(\frac{v}{R}\Big)^2 = \frac34 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac43 g h}$$

Esempio. Con $h = 1$ m: $v = 3{,}62$ m/s, contro $\sqrt{2gh} = 4{,}43$ m/s di un corpo che scivola senza attrito.

Formula (velocità in fondo al piano per un corpo che rotola). Per un corpo generico $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$.

Esempio. Sfera piena ($k = \frac25$) con $h = 1$ m: $v = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81}{1{,}4}} = 3{,}74$ m/s.

Forza applicata al centro (trazione)

Se una forza $\vec F$ parallela al piano tira il centro del disco (un disco trascinato, il tema del 7 febbraio 2025), l'attrito statico può avere verso qualsiasi: va sempre trovato dal segno nelle equazioni. Su un piano orizzontale:

$$m a = F + f_s, \qquad -f_s R = I_C\,\alpha \ \ (\text{con } f_s \text{ preso positivo nel verso di } F), \qquad a = \alpha R$$

Si ottiene $a = \frac{F}{m(1 + k)}$ e $f_s = -\frac{k}{1+k}F$: l'attrito è opposto alla forza (per un disco $f_s = -\frac13 F$). Se invece la forza è applicata sul bordo superiore (come una ruota motrice, o un filo avvolto sopra), l'attrito può risultare concorde con il moto.

Errori comuni

• Scrivere $f_s = \mu_s N$: l'attrito statico vale quanto serve, $\mu_s N$ è solo il suo massimo.
• Dimenticare l'energia di rotazione nel bilancio energetico (o, al contrario, aggiungere un "lavoro dell'attrito" che non c'è).
• Usare $M = I\alpha$ rispetto a un punto qualsiasi del corpo in movimento: vale rispetto al CM, rispetto a un punto fisso e, nel puro rotolamento, rispetto al punto di contatto.
• Confondere i versi: scegliere sempre versi positivi coerenti (il disco che va avanti deve avere $\omega > 0$) in modo che il vincolo sia $a = +\alpha R$.