Esercizio 117rigidità dielettrica dell'aria ed effetto delle punte

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Testo. L'aria secca sopporta un campo elettrico fino a $E_{\max} = 3{,}0\cdot 10^{6}\ \text{V/m}$ (rigidità dielettrica): oltre, si ionizza e il conduttore si scarica. Determinare:

a) la massima carica e il massimo potenziale di una sfera conduttrice di raggio $R = 10\ \text{cm}$ in aria, e il corrispondente numero di cariche elementari in eccesso;

b) gli stessi valori per una punta metallica schematizzata come una sfera di raggio $r = 1{,}0\ \text{mm}$ ;

c) il potenziale massimo e le cariche delle due sfere se sono collegate da un filo (lontane tra loro);

d) la densità superficiale di carica massima, uguale per ogni raggio?

Teoria: Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1.

Impostazione

Per una sfera conduttrice di raggio $R$ e carica $Q$ il campo appena fuori dalla superficie, il più intenso del campo esterno, è

$E_{\text{sup}} = k\frac{Q}{R^2} = \frac{V}{R} \qquad V = k\frac{Q}{R}$

La scarica avviene quando $E_{\text{sup}}$ raggiunge $E_{\max}$ .

a) Sfera di raggio $10$ cm

Potenziale massimo e carica massima:

$V_{\max} = E_{\max}R = 3{,}0\cdot 10^{6}\cdot 0{,}10 = 3{,}0\cdot 10^{5}\ \text{V} = 300\ \text{kV}$

$Q_{\max} = \frac{E_{\max}R^2}{k} = \frac{3{,}0\cdot 10^{6}\cdot 0{,}010}{8{,}988\cdot 10^{9}} = 3{,}34\cdot 10^{-6}\ \text{C} = 3{,}34\ \mu\text{C}$

Numero di elettroni in eccesso (o in difetto): $N = Q_{\max}/e = 3{,}34\cdot 10^{-6}/1{,}602\cdot 10^{-19} = 2{,}08\cdot 10^{13}$ .

b) Punta di raggio $1{,}0$ mm

$V_{\max} = 3{,}0\cdot 10^{6}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3} = 3{,}0\cdot 10^{3}\ \text{V} = 3{,}0\ \text{kV}$

$Q_{\max} = \frac{3{,}0\cdot 10^{6}\cdot(1{,}0\cdot 10^{-3})^2}{8{,}988\cdot 10^{9}} = 3{,}34\cdot 10^{-10}\ \text{C} = 0{,}334\ \text{nC}$

La punta può portare un potenziale cento volte minore e una carica diecimila volte minore della sfera: $V_{\max}$ è proporzionale a $R$ , $Q_{\max}$ a $R^2$ . Per questo, con una tensione di qualche kilovolt, una punta emette già scariche (effetto corona) mentre una sfera liscia di $10$ cm no.

c) Le due sfere collegate

Collegate da un filo, hanno lo stesso potenziale $V$ . Il campo superficiale è $E = V/R$ , maggiore sulla punta ( $R$ minore). La punta raggiunge $E_{\max}$ per prima, quando $V = E_{\max}\,r$ :

$V_{\max} = 3{,}0\ \text{kV} \qquad q_{\text{punta}} = \frac{V r}{k} = \frac{3000\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}{8{,}988\cdot 10^{9}} = 3{,}3\cdot 10^{-10}\ \text{C}$

$q_{\text{sfera}} = \frac{V R}{k} = \frac{3000\cdot 0{,}10}{8{,}988\cdot 10^{9}} = 3{,}3\cdot 10^{-8}\ \text{C} = 33\ \text{nC}$

Il sistema non può superare $3$ kV: tutto il conduttore si scarica attraverso la punta. La sfera da sola arriverebbe a $300$ kV, ma una punta collegata ne limita il potenziale a $3$ kV. È il principio del parafulmine: una punta messa a terra scarica lentamente le nuvole o provoca la scarica in un punto controllato.

d) Densità superficiale massima

Dal teorema di Coulomb $E = \sigma/\varepsilon_0$ :

$\sigma_{\max} = \varepsilon_0 E_{\max} = 8{,}854\cdot 10^{-12}\cdot 3{,}0\cdot 10^{6} = 2{,}66\cdot 10^{-5}\ \text{C/m}^2$

È uguale per ogni raggio (dipende solo dal gas): ciò che cambia è la superficie disponibile, $4\pi R^2$ , e quindi la carica totale ( $Q_{\max} = \sigma_{\max}\cdot 4\pi R^2$ , ad esempio $2{,}66\cdot 10^{-5}\cdot 4\pi\cdot 0{,}01 = 3{,}34\ \mu$ C ✓).

Risultati

grandezza	valore
a) $V_{\max}$ , $Q_{\max}$ della sfera da $10$ cm	$300\ \text{kV}$ , $3{,}34\ \mu\text{C}$ ( $2{,}08\cdot 10^{13}$ cariche elementari)
b) $V_{\max}$ , $Q_{\max}$ della punta da $1$ mm	$3{,}0\ \text{kV}$ , $0{,}334\ \text{nC}$
c) potenziale limite delle due sfere collegate	$3{,}0\ \text{kV}$ , con $q = 33\ \text{nC}$ e $0{,}33\ \text{nC}$
d) $\sigma_{\max}$	$2{,}66\cdot 10^{-5}\ \text{C/m}^2$ , indipendente da $R$

Errori comuni

Dire che il campo massimo è sul conduttore più grande: a parità di potenziale è sul più piccolo.
Confondere la proporzionalità: $V_{\max}\propto R$ , $Q_{\max}\propto R^2$ .
Dividere la carica a metà tra le sfere collegate: hanno lo stesso potenziale, non la stessa carica.

Versione ripasso

Testo. Aria con $E_{\max} = 3{,}0\cdot 10^{6}$ V/m. Carica e potenziale massimi di una sfera da $R = 10$ cm e di una punta da $1{,}0$ mm; limite per le due collegate; densità massima.

Soluzione

Sfera: $E_{\text{sup}} = kQ/R^2 = V/R$ (Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1).

$R = 10$ cm: $V_{\max} = E_{\max}R = 300$ kV, $Q_{\max} = E_{\max}R^2/k = 3{,}34\ \mu$ C ( $2{,}08\cdot 10^{13}$ cariche elementari).
$r = 1{,}0$ mm: $V_{\max} = 3{,}0$ kV, $Q_{\max} = 0{,}334$ nC.
Collegate (stesso $V$ ): la punta scarica per prima, limite $3{,}0$ kV, $q_{\text{sfera}} = 33$ nC. Parafulmine.
$\sigma_{\max} = \varepsilon_0E_{\max} = 2{,}66\cdot 10^{-5}$ C/m², uguale per ogni raggio.

Errori tipici: campo massimo sul conduttore grande; $V\propto R^2$ ; carica divisa a metà.

Teoria collegata

Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1