Moto armonico semplice

Il moto oscillatorio più importante della fisica: lo fanno una massa attaccata a una molla (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →), un Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice → per piccole oscillazioni, e (con le dovute modifiche) le correnti nei circuiti oscillanti che si incontreranno in elettrotecnica. Qui lo si studia come moto, senza chiedersi da quale forza venga. Prima: Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →. Energia, piccole oscillazioni, smorzamento e risonanza nel capitolo sulle oscillazioni: Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →, Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato →, Oscillazioni forzate e risonanzaUn oscillatore smorzato spinto da una forza F₀cos(Ωt), dopo un transitorio, oscilla alla pulsazione Ω della forza con ampiezza A(Ω) = (F₀/m)/√((ω₀² − Ω²)² + 4γ²Ω²) e sfasamento δ, con tan δ = 2γΩ/(ω₀² − Ω²). Vicino a Ω = ω₀ l'ampiezza e la potenza assorbita sono massime (risonanza); la larghezza della risonanza è 2γ e l'amplificazione vale Q. Un motore su supporti elastici isola il pavimento solo sopra √2 ω₀.Oscillazioni forzate e risonanza →. Esercizio: Esercizio 4 · ampiezza e fase di un moto armonico.

Legge oraria e grandezze

Un punto si muove di moto armonico semplice lungo l'asse $x$ quando la sua legge oraria è

Legge oraria (moto armonico semplice). $$\boxed{x(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi)}$$

con $A > 0$ e $\omega > 0$ costanti. Il nome di ogni simbolo:

Esempio. $x(t) = 0{,}05\,\sin(4\pi t + \frac\pi6)$: a $t=0$ è $x = 0{,}05\sin\frac\pi6 = 0{,}025$ m, mentre l'ampiezza è $5$ cm.

Il centro dell'oscillazione, $x = 0$, è la posizione di equilibrio; gli estremi $x = \pm A$ sono i punti di inversione.

Periodo e frequenza. Il seno si ripete quando il suo argomento aumenta di $2\pi$. Il periodo $T$ è il tempo dopo il quale il moto si ripete identico: $\omega(t + T) + \varphi = \omega t + \varphi + 2\pi$, quindi

Formula (periodo e frequenza). $$T = \frac{2\pi}{\omega} \quad [\text{s}] \qquad\qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \quad [\text{Hz} = \text{s}^{-1}]$$

dove $\nu$ (o $f$) è la frequenza, il numero di oscillazioni complete al secondo. Viceversa $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$.

Coseno o seno è lo stesso. Poiché $\cos\alpha = \sin\left(\alpha + \frac\pi2\right)$, la legge $x = A\cos(\omega t + \varphi')$ è un moto armonico con fase iniziale $\varphi = \varphi' + \frac\pi2$. Si usa la forma più comoda per le condizioni iniziali.

Esempio. $x(t) = 0{,}05\,\sin(4\pi t)$ (metri, secondi): ampiezza $5$ cm, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s} \approx 12{,}6\ \text{rad/s}$, $T = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5$ s, $\nu = 2$ Hz: due oscillazioni complete al secondo.

Velocità e accelerazione

Derivando la legge oraria (con la regola della funzione composta, la derivata di $\sin(\omega t + \varphi)$ è $\omega\cos(\omega t + \varphi)$):

Formula (velocità e accelerazione nel moto armonico). $$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega\,\cos(\omega t + \varphi)$$

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\,\sin(\omega t + \varphi)$$

Esempio. $A = 0{,}05$ m, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s}$: $v_{\max} = A\omega = 0{,}628\ \text{m/s}$ e $a_{\max} = A\omega^2 = 7{,}9\ \text{m/s}^2$.

Valori massimi: $v_{\max} = A\omega$ e $a_{\max} = A\omega^2$.

Dove sono massimi:

• nel centro ($x = 0$) il seno è nullo e il coseno vale $\pm1$: la velocità è massima in modulo e l'accelerazione è nulla;
• agli estremi ($x = \pm A$) il seno vale $\pm1$ e il coseno è nullo: il punto è fermo (si inverte) e l'accelerazione è massima in modulo, diretta verso il centro.

La proprietà caratteristica: $a = -\omega^2 x$

Confrontando $a(t)$ con $x(t)$ si vede che $a(t) = -\omega^2 \cdot A\sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t)$ in ogni istante:

Legge (equazione dell'oscillatore armonico). $$\boxed{a = -\omega^2\,x} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2\,x = 0$$

Esempio. Se $a = -25\,x$ (in unità SI) allora $\omega^2 = 25$, $\omega = 5\ \text{rad/s}$ e $T = \frac{2\pi}{5} = 1{,}26$ s.

L'accelerazione è proporzionale allo spostamento e di verso opposto: punta sempre verso il centro, e tanto più forte quanto più il punto è lontano. È questo che produce l'oscillazione: il punto viene richiamato verso il centro, ci arriva con la massima velocità, lo supera, viene frenato, si ferma all'estremo opposto e torna indietro.

La seconda forma è l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico. Si dimostra (lo si vede in Analisi) che tutte le sue soluzioni sono del tipo $A\sin(\omega t + \varphi)$, con $A$ e $\varphi$ qualsiasi. Conseguenza pratica, fondamentale in dinamica:

Criterio (moto armonico). Se in un problema si trova che l'accelerazione è $a = -(\text{costante positiva}) \cdot x$, il moto è armonico, con $\omega = \sqrt{\text{costante}}$.

Esempio. Una massa $m = 0{,}2$ kg su una molla $k = 80$ N/m ha $a = -400\,x$, quindi $\omega = 20\ \text{rad/s}$ e $T = 0{,}314$ s.

Per esempio per una massa $m$ attaccata a una molla di costante $k$ la dinamica darà $a = -\frac{k}{m}x$, quindi $\omega = \sqrt{k/m}$ e $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (vedi Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →).

Se il centro non è in $x = 0$: se l'accelerazione è $a = -\omega^2(x - x_e)$, il moto è armonico attorno alla posizione $x_e$: $x(t) = x_e + A\sin(\omega t + \varphi)$. Basta usare come variabile lo spostamento dall'equilibrio, $x - x_e$.

Osservazione importante: il periodo $T = 2\pi/\omega$ non dipende dall'ampiezza. Oscillazioni grandi e piccole durano uguale (isocronismo): un'oscillazione più ampia ha più strada da fare, ma va proporzionalmente più veloce.

Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

La pulsazione $\omega$ viene dal sistema fisico (la molla, il pendolo). Ampiezza e fase invece dipendono da come si mette in moto il punto, cioè da posizione $x_0$ e velocità $v_0$ all'istante $t = 0$. Ponendo $t = 0$ nelle leggi di $x$ e $v$:

$$x_0 = A\sin\varphi \qquad\qquad v_0 = A\omega\cos\varphi \iff \frac{v_0}{\omega} = A\cos\varphi$$

Ampiezza. Si elevano al quadrato e si sommano, usando $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$:

Formula (ampiezza dalle condizioni iniziali). $$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$$

Esempio. $x_0 = 0{,}03$ m, $v_0 = 0{,}4\ \text{m/s}$, $\omega = 10\ \text{rad/s}$: $A = \sqrt{0{,}03^2 + 0{,}04^2} = 0{,}05$ m.

Fase. Si dividono membro a membro: $\tan\varphi = \dfrac{\omega x_0}{v_0}$. Poiché la tangente ha periodo $\pi$, l'arcotangente dà l'angolo giusto solo a meno di $\pi$: il quadrante si sceglie guardando i segni di $\sin\varphi$ (stesso segno di $x_0$) e di $\cos\varphi$ (stesso segno di $v_0$).

Casi frequenti:

Velocità in funzione della posizione

Spesso si chiede la velocità in un certo punto, non in un certo istante. Da $x = A\sin(\cdot)$ e $\frac{v}{\omega} = A\cos(\cdot)$, sommando i quadrati:

Formula (velocità in funzione della posizione). $$x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

Esempio. $A = 5$ cm, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s}$, $x = 3$ cm: $|v| = 4\pi\sqrt{25-9}\ \text{cm/s} = 50{,}3\ \text{cm/s}$.

Il segno dipende dal verso in cui il punto sta passando. Si ritrova $|v| = A\omega$ in $x = 0$ e $v = 0$ in $x = \pm A$. (Questa relazione si leggerà come conservazione dell'energia in Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →.)

Legame con il moto circolare uniforme

Un punto che percorre una circonferenza di raggio $A$ con velocità angolare costante $\omega$ (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →) ha coordinate $A\cos(\omega t + \varphi)$ e $A\sin(\omega t + \varphi)$: la sua proiezione su un diametro si muove di moto armonico. Questo spiega il nome "pulsazione" (è la velocità angolare del punto che gira) e il fatto che la fase si misuri in radianti.

Riassunto

Errori comuni

• Confondere $\omega$ e $\nu$: $\omega = 2\pi\nu$. Se un testo dice "frequenza $5$ Hz", la pulsazione è $10\pi \approx 31{,}4$ rad/s.
• Calcolare il seno in gradi: $\omega t + \varphi$ è in radianti.
• Prendere la fase dall'arcotangente senza controllare il quadrante: con $x_0 > 0$ e $v_0 < 0$ l'angolo è nel secondo quadrante, mentre l'arcotangente lo darebbe nel quarto.
• Pensare che il periodo dipenda dall'ampiezza: nel moto armonico no.