Elaborazione dei dati sperimentali

Il corso di Fisica 1 prevede esperienze di laboratorio obbligatorie in piccoli gruppi: si confrontano le misure con le previsioni teoriche tenendo conto delle incertezze. Questa nota dà gli strumenti per farlo, applicati a esperienze tipiche come il pendolo, la guidovia con slitte e urti e il volano. Prima: Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioniUna grandezza fisica è definita da come la si misura; ogni misura è numero più unità. Sistema Internazionale, prefissi, conversioni e analisi dimensionale per controllare le formule.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →. Esercizio: Esercizio 6 · domande dei test di laboratorio.

Misura e incertezza

Nessuna misura è esatta. Il risultato di una misura si scrive sempre come

Formula (scrittura di una misura). $$x = x_{\text{best}} \pm \delta x \qquad \text{per esempio} \quad g = (9{,}81 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$$

dove $x_{\text{best}}$ è la miglior stima e $\delta x$ l'incertezza (o errore): si afferma che il valore vero sta, con buona probabilità, tra $x_{\text{best}} - \delta x$ e $x_{\text{best}} + \delta x$.

Esempio. $g = (9{,}81 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$ ha incertezza relativa $\frac{0{,}02}{9{,}81} = 0{,}2\%$.

Errore relativo: $\dfrac{\delta x}{|x_{\text{best}}|}$, un numero puro, spesso in percentuale. Dice quanto è buona la misura indipendentemente dall'unità: $\pm 1$ mm su $1$ m è lo $0{,}1\%$, su $1$ cm è il $10\%$.

Come si scrive: l'incertezza si arrotonda a 1 o 2 cifre significative, e il valore si arrotonda alla stessa cifra decimale. $g = 9{,}8137 \pm 0{,}0213$ si scrive $g = (9{,}81 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$.

Errori sistematici e casuali

Una misura è precisa se gli errori casuali sono piccoli (misure ripetute vicine tra loro), accurata se gli errori sistematici sono piccoli (la media è vicina al valore vero). Si può essere precisi ma non accurati: tante misure strette attorno al valore sbagliato.

Esempio dal laboratorio: nell'esperienza del volano si trascura la massa del filo; è un errore sistematico, accettabile se è piccolo rispetto agli errori casuali. Nella guidovia, l'attrito residuo rallenta le slitte: se si misura la velocità lontano dalla zona dell'urto si commette un errore sistematico, sempre nello stesso verso (vedi l'Esercizio 6 · domande dei test di laboratorio).

Sensibilità (risoluzione) dello strumento: la più piccola variazione che lo strumento riesce a mostrare ($1$ mm per un metro a nastro, $0{,}01$ s per un cronometro digitale). Se ripetendo la misura si ottiene sempre lo stesso valore, l'incertezza è data dalla sensibilità.

Misure ripetute: media e deviazione standard

Si misura $N$ volte la stessa grandezza e si ottengono $x_1, x_2, \dots, x_N$, diversi per colpa degli errori casuali.

Media aritmetica: la miglior stima del valore vero.

Formula (media aritmetica). $$\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$$

Esempio. Tre misure di un periodo: $2{,}03$, $2{,}01$, $2{,}05$ s. Media $\bar T = 2{,}03$ s.

Deviazione standard (scarto quadratico medio): misura quanto sono sparpagliate le singole misure attorno alla media.

Formula (deviazione standard). $$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar x)^2}$$

Esempio. Con le tre misure precedenti gli scarti sono $0$, $-0{,}02$, $+0{,}02$ s: $\sigma_T = \sqrt{\frac{0{,}0008}{2}} = 0{,}02$ s.

Si eleva al quadrato ogni scarto $x_i - \bar x$ perché altrimenti scarti positivi e negativi si cancellerebbero (la somma degli scarti è sempre zero). Si divide per $N - 1$ e non per $N$ perché la media è stata calcolata dagli stessi dati, e questo "consuma" un dato (con una sola misura non si può stimare la dispersione).

$\sigma_x$ è l'incertezza della singola misura: una nuova misura cadrà in $\bar x \pm \sigma_x$ circa due volte su tre.

Errore della media. La media di $N$ misure è più affidabile di una misura sola:

Formula (errore della media). $$\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma_x}{\sqrt N}$$

Il risultato si scrive $x = \bar x \pm \sigma_{\bar x}$. Per dimezzare l'errore servono quattro volte più misure (per la radice).

Esempio. Otto misure del periodo di un pendolo (s): $2{,}03$; $2{,}01$; $2{,}05$; $2{,}02$; $2{,}04$; $2{,}00$; $2{,}03$; $2{,}02$. Media $\bar T = 2{,}025$ s, deviazione standard $\sigma_T = 0{,}016$ s, errore della media $\frac{0{,}016}{\sqrt8} = 0{,}006$ s. Risultato: $T = (2{,}025 \pm 0{,}006)$ s.

La distribuzione normale

Se gli errori casuali sono dovuti a tante piccole cause indipendenti, i valori misurati si distribuiscono secondo la distribuzione normale (gaussiana): la curva a campana centrata sul valore vero, con larghezza data da $\sigma$. Le probabilità da ricordare:

Compatibilità tra due misure. Due risultati $x_1 \pm \sigma_1$ e $x_2 \pm \sigma_2$ sono compatibili se la loro differenza è piccola rispetto all'incertezza della differenza, $\sigma_d = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$: di solito si richiede $|x_1 - x_2| \le 2\sigma_d$ (o $3\sigma_d$). Allo stesso modo si confronta una misura con un valore atteso (per esempio $g = 9{,}81$).

Media pesata

Se si hanno misure della stessa grandezza con incertezze diverse (per esempio di gruppi di lavoro diversi), la media aritmetica non è la scelta migliore: le misure più precise devono contare di più. Si usa la media pesata con pesi $w_i = 1/\sigma_i^2$:

Formula (media pesata). $$\bar x_w = \frac{\sum_i w_i\,x_i}{\sum_i w_i} \qquad\qquad \sigma_{\bar x_w} = \frac{1}{\sqrt{\sum_i w_i}}$$

Esempio. Tre gruppi trovano $g = 9{,}78 \pm 0{,}02$; $9{,}85 \pm 0{,}05$; $9{,}80 \pm 0{,}03$ (m/s²). Pesi: $2500$, $400$, $1111$. Media pesata $9{,}793$, incertezza $\frac{1}{\sqrt{4011}} = 0{,}016$: $g = (9{,}79 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$. La misura meno precisa ($9{,}85$) pesa poco.

Propagazione degli errori

Spesso la grandezza che interessa non si misura direttamente ma si calcola da altre misurate (misura indiretta): $g = 4\pi^2 \ell / T^2$ dal pendolo. Come si propagano le incertezze di $\ell$ e $T$ su $g$?

Per errori casuali e indipendenti le incertezze si sommano in quadratura:

Perché in quadratura e non semplicemente sommati: gli errori indipendenti hanno la stessa probabilità di essere concordi o discordi, e a volte si compensano. La somma semplice $\sigma_x + \sigma_y$ (errore massimo) è il caso peggiore e si usa quando gli errori non sono casuali (per esempio quando l'incertezza è la sensibilità dello strumento) o quando si vuole una stima prudente.

Esempio: prodotto. $F = x\,y$ con $x$ misurato al $10\%$ e $y$ al $2\%$: in quadratura $\sqrt{10^2 + 2^2} = 10{,}2\% \approx 10\%$; come errore massimo $12\%$. Si noti che domina l'errore più grande: migliorare $y$ non serve a niente, bisogna migliorare $x$.

Esempio: pendolo. $\ell = (0{,}800 \pm 0{,}002)$ m e $T = (1{,}795 \pm 0{,}004)$ s. Allora $g = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}800}{1{,}795^2} = 9{,}802\ \text{m/s}^2$, e

$$\frac{\sigma_g}{g} = \sqrt{\left(\frac{0{,}002}{0{,}800}\right)^2 + \left(2 \cdot \frac{0{,}004}{1{,}795}\right)^2} = \sqrt{0{,}0025^2 + 0{,}0045^2} = 0{,}0051$$

cioè $0{,}5\%$: $g = (9{,}80 \pm 0{,}05)\ \text{m/s}^2$. Il periodo, che compare al quadrato, conta il doppio: per questo si misura il tempo di molte oscillazioni e lo si divide per il loro numero.

Fit lineare (metodo dei minimi quadrati)

Quando la teoria prevede una relazione lineare $y = a + b\,x$ tra due grandezze misurate, si misurano coppie $(x_i, y_i)$ e si cerca la retta che passa "più vicino" a tutti i punti. Il metodo dei minimi quadrati sceglie $a$ e $b$ in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli scarti verticali, $\sum_i (y_i - a - b x_i)^2$. Imponendo nulle le derivate rispetto ad $a$ e $b$ si trova

Formula (fit lineare ai minimi quadrati). $$b = \frac{N\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2} \qquad\qquad a = \bar y - b\,\bar x$$

Esempio. Punti $(1,2)$, $(2,4)$, $(3,6)$: $b = \frac{3\cdot28 - 6\cdot12}{3\cdot14 - 36} = \frac{12}{6} = 2$ e $a = 4 - 2\cdot2 = 0$, cioè $y = 2x$.

(i fogli di calcolo e i software di laboratorio lo fanno automaticamente, e danno anche le incertezze di $a$ e $b$).

Perché fare un fit invece di calcolare la grandezza punto per punto: si usano tutte le misure insieme, la stima è migliore, e il grafico mostra subito se la relazione è davvero lineare (punti allineati) o se c'è qualcosa che non va (un punto anomalo, un errore sistematico che fa curvare i dati, un'intercetta che dovrebbe essere zero e non lo è).

Linearizzare. Se la relazione non è lineare, si cambiano le variabili. Per il pendolo $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ (vedi Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →); elevando al quadrato

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\,\ell$$

quindi $T^2$ in funzione di $\ell$ è una retta passante per l'origine con pendenza $b = 4\pi^2/g$. Dal fit si ricava $g = 4\pi^2/b$.

Esempio. Periodi misurati per cinque lunghezze:

Il fit di $T^2$ contro $\ell$ dà $b = 4{,}024\ \text{s}^2/\text{m}$ e $a = 0{,}003\ \text{s}^2$ (compatibile con zero, come previsto). Quindi $g = \frac{4\pi^2}{4{,}024} = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Pendenza = velocità. Nella guidovia il sensore registra la posizione $s(t)$ della slitta; in una zona in cui la slitta si muove di moto uniforme, il fit lineare di $s(t)$ ha pendenza uguale alla velocità (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →). Così si misurano le velocità prima e dopo un urto (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →).

Riassunto

Errori comuni

• Pensare che ripetere le misure riduca gli errori sistematici: la media riduce solo quelli casuali.
• Sommare gli errori assoluti in un prodotto: nei prodotti e nei quozienti si combinano gli errori relativi.
• Scrivere troppe cifre: $g = 9{,}80213 \pm 0{,}05011$ va scritto $(9{,}80 \pm 0{,}05)$.
• Confondere la deviazione standard con l'errore della media: la prima descrive la singola misura, la seconda la media (è $\sqrt N$ volte più piccola).